超難問です！ (2)がわかりません(>_<) 解き方を教えてください！

超難問です！
(2)がわかりません(>_<)
解き方を教えてください！

No.5 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/05/05 00:33

はい、諸々のこと了解しました。

この問題が高校二年生にとって難しいかどうかは、どこまで詳しく解答を書くことが要求されるか、によると思います。

複素数 z が実数 x, y を用いて z = x + iy と表せるとき,
x を z の実部といい, x = Re(z) とかきます。
y を z の虚部といい, y = Im(z) とかきます。
つまり, Re(z) は z の実部, Im(z) は z の虚部を表します。

この問題では、与えられた関係式 w = i(z + 2)/(z - 2) の右辺を変形すると
w = 4y/((x - 2)^2 + y^2) + i * (x^2 + y^2 - 4)/((x - 2)^2 + y^2)
となり、さらに w が負の実数に等しいことから,
x^2 + y^2 - 4 = 0 かつ y < 0 が得られます。
よって, 点 z = x + iy が「中心 0, 半径 2 の円の実軸より下の部分の点」ということは明らかです。

たぶん高校生ならば、このことをもって「円 |z| = 2 の実軸より下の部分」を答えとしても、減点されないと思います。
しかし、厳密には「中心 0, 半径 2 の円の実軸より下の部分」の点 z を勝手に取ったとき,
w = i(z + 2)/(z - 2) を満たす負の実数 w が存在することを、きちんと示さなければなりません。
そういう w が存在することは、実は明らかです。
それを明らかと認めずに証明するなら、その分だけ難しくなるというか、作業量は増えます。

この回答へのお礼

ご丁寧に教えてくださりありがとうございます！！
授業でわたしが解くことになっているので本当に助かりました。

お礼日時：2016/05/05 02:15

No.4 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/05/04 21:34

すみませんが、もう少し分かりやすく伝えてください。

>解き方はこれであってるのでしょうか？
「これ」が何を指すか、私には分かりません。

>解き方の解答がのってないんです…
「解き方の解答」とは、どういう意味でしょうか。

ANo.2 に書いた内容は、理解してもらえましたか。
理解したなら、すでに問題はすべて解決したと思うのですが。
理解していないなら、疑問点を質問してください。

この回答へのお礼

これ というのは、

arg(w) = π より, Re(w) < 0 かつ Im(w) = 0 ですよね。
よって、複素数 w を負数 w と同一視します。

関係式 w = i(z + 2)/(z - 2) より, z = 2 + 4i/(w - i)
よって, Re(z) = 2(w^2 - 1)/(w^2 + 1), Im(z) = 4w/(w^2 + 1)
これより |z| = 2
w < 0 より -2 < Re(z) < 2, -2 ≦ Im(z) < 0

Re(z) = x, Im(z) = y とおいて w を消去しても, x^2 + y^2 = 4 が得られます。
そこで z = 2(cos(θ) + i * sin(θ)), ただし -π < θ < 0 or 0 < θ < π, とおくと
w = i(z + 2)/(z - 2) = cot(θ/2) < 0
よって -π < θ < 0

⤴︎のことです。

すみません。解き方の解答がないというのは解説のことです！

Reとlmいうのはなんですか？
この問題は高校二年生には難しいですかね？

お礼日時：2016/05/04 23:13

No.3 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/05/04 13:37

差し出がましいようですが

>円z＝2の実軸より下の部分
円|z|＝2の実軸より下の部分、ではないでしょうか。

この回答へのお礼

はい！答えはそうです！
解き方はこれであってるのでしょうか？
解き方の解答がのってないんです…

お礼日時：2016/05/04 20:27

No.2 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/05/04 04:08

arg(w) = π より, Re(w) < 0 かつ Im(w) = 0 ですよね。

よって、複素数 w を負数 w と同一視します。

関係式 w = i(z + 2)/(z - 2) より, z = 2 + 4i/(w - i)
よって, Re(z) = 2(w^2 - 1)/(w^2 + 1), Im(z) = 4w/(w^2 + 1)
これより |z| = 2
w < 0 より -2 < Re(z) < 2, -2 ≦ Im(z) < 0

Re(z) = x, Im(z) = y とおいて w を消去しても, x^2 + y^2 = 4 が得られます。
そこで z = 2(cos(θ) + i * sin(θ)), ただし -π < θ < 0 or 0 < θ < π, とおくと
w = i(z + 2)/(z - 2) = cot(θ/2) < 0
よって -π < θ < 0

超難問ということですから、間違っているかもしれません。
その際は、間違っている部分を指摘してください。

この回答へのお礼

ありがとうございます！！
ちなみに答えです！

2点A(−2),B(2)に対して, A,Bを直径の両端とする円z＝2の実軸より下の部分

お礼日時：2016/05/04 11:38

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/05/04 00:04

z について解けばいいだけじゃないかなぁ....