行列の可換性と固有ベクトルの関係について

ｎ次正則行列A、Bについて、

AB＝BA　←→　AとBは同じ固有ベクトルをもつ
AB≠BA　←→　AとBは同じ固有ベクトルをもたない

上記は正しいですか。

No.9 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/05/12 00:11

つらつら考えたんだが, 結局のところジョルダン標準形にしてやることになるんだろうなぁ.

あぁ, 可換であることと相似であることとはあんまり関係ないからね.

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/05/11 14:23

「同じ固有ベクトルをもつ」を

共通の一次独立な固有ベクトルをn個決めることができる

と決めても

1 0
2 1

1 0
0 1

では成り立ちませんね。

う~ん、どうしましょう。

この回答へのお礼

1 0
0 1
これはジョルダン標準形になってるけど、

1 0
2 1
これはジョルダン標準形になっていませんね。

やはりジョルダン標準形で考える以外ないのではないでしょうか。

お礼日時：2016/05/11 15:09

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/05/11 12:20

>正則でない行列は議論の対象外なんだけど＞#4.

確かに。ちょっとぼけてますね(^-^;

>「同じ固有ベクトルをもつ」
これも同時対角化とは違いますね、申し訳ない。

例

1 2
2 1

と

1 0
0 1

は可換で正則だけど

前者の固有ベクトルは(1,1)と(1、-1)のスカラー倍
後者の固有ベクトルは全てのベクトル。

比べようがないですね。

この回答へのお礼

AB＝BA　←　AとBは同じ固有ベクトルをもつ
これは成立するが、

AB＝BA　→　AとBは同じ固有ベクトルをもつ
これは成立しない。

ですか？

お礼日時：2016/05/11 15:41

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/05/11 11:52

いや, だから, 「同じ固有ベクトルをもつ」とはどういうことなのかをきちんと定義しておかないと議論が進まないんだってばぁ.

この回答へのお礼

＞「同じ固有ベクトルをもつ」とはどういうことなのかをきちんと定義しておかないと議論が進まないんだってばぁ.

行列A,Bが同じ固有ベクトルをもつとは

１．固有ベクトルの本数が同じであること
２．固有ベクトルの値が全て同じであること

お礼日時：2016/05/11 15:20

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/05/11 11:10

いや, 正則でない行列は議論の対象外なんだけど＞#4.

さておき, よく考えてみるとそもそも「同じ固有ベクトルをもつ」とか「同じ固有ベクトルをもたない」とかの意味をきちんと確定させておかないと話にならないってことに気づいてしまった. ということで
「同じ固有ベクトルをもつ」
(あるいは「同じ固有ベクトルをもたない」) とはどういうことか, きちんと定義してください.

この回答へのお礼

No4のお礼と同じですが、

なんだかよく分からなくなったので、一度話を整理したいです。

質問文ではA,Bはｎ次正則行列としましたが、逆に考えて、

AB＝BA　≡　AとBは同じ固有ベクトルをもつ　　≡　AとBは相似

この3つの同値関係が成立するためには、A,Bはｎ次正則行列であることに加えて必要な条件が別にあるのですか。

お礼日時：2016/05/11 11:36

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/05/11 10:41

>ここでは「正則」としか条件が付いていないので,

>そもそも A や B が対角化できるとは限らないのでは

確かに対角化可能が必要ですね。見落としました。
例えばA、Bを

1 1
1 1

1 2
2 1

とすると、AとBの固有べクトルはスカラー倍の範囲で一致しますが
Aは正則ではないです。

従って質問命題は正しくないですね。

この回答へのお礼

なんだかよく分からなくなったので、一度話を整理したいです。

質問文ではA,Bはｎ次正則行列としましたが、逆に考えて、

AB＝BA　≡　AとBは同じ固有ベクトルをもつ　　≡　AとBは相似

この3つの同値関係が成立するためには、A,Bはｎ次正則行列であることに加えて必要な条件が別にあるのですか。

お礼日時：2016/05/11 11:32

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/05/11 01:52

ここでは「正則」としか条件が付いていないので, そもそも A や B が対角化できるとは限らないのでは＞#1.

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/05/10 22:00

AN01です。

よく考えたら2番目は一番目の対偶で導けるから
1番目の証明が得られれば充分ですね。

この回答へのお礼

結局、

AB＝BA　≡　AとBは同じ固有ベクトルをもつ　　≡　AとBは相似

この3つは同値であると結論して良いですよね。

お礼日時：2016/05/11 10:24

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/05/10 21:56

一番目は有名な定理なので、「可換」、「同時対角化亅で引けば

証明が沢山ヒットするはず。

同時対角化→可換の証明は簡単にだけど逆の証明は
結構やっかいのはず。

2番目が成立するかは知らないです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

＞一番目は有名な定理なので、「可換」、「同時対角化亅で引けば

とりあえず「同時対角化亅で調べてみますが、その定理の名前は何ですか。

お礼日時：2016/05/11 10:30