和＝積

x[1] + x[2] + x[3] + x[4] + x[5] + x[6]
= x[1]*x[2]*x[3]*x[4]*x[5]*x[6] なる

(x[1], x[2], x[3], x[4], x[5], x[6])∈N^6 をお願いします；

質問者からの補足コメント

• https://www.google.co.jp/search?q=natural+number …

    補足日時：2016/07/16 22:15

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2016/07/19 23:49

ANo.3です。

もうちょっとだけスマートにやってみました。
　　S = Σ{j=1〜n} x[j]
　　P = Π{j=1〜n} x[j]
　　x[1]≧x[2]≧…≧x[n]≧1
について方程式
　　S = P
を考える訳ですが、S, Pをx[1]で割ると
　　S/x[1] = 1+(Σ{j=2〜n} x[j]) / x[1]
　　P/x[1] = Π{j=2〜n} x[j]
となる。従って、
　　r = (Σ{j=2〜n} x[j]) /x[1]
とおくと、rは x[1]の倍数であることが分かりますが、一方　x[1]≧x[2]≧…≧x[n]≧1 である。だから、
　　r ∈{1, 2, …, n-2 }
であると分かります。
　　S/x[1] = r+1
　　P/x[1] = Π{j=2〜n} x[j]
であるから、x[j] {j=2〜n} はr+1の素因数分解（ただし1をいくつか付け加えて良い。(←この意味については以下の例をご覧あれ。)）というものになっていなくてはならない。なので、r+1の素因数分解の仕方 x[j] {j=2〜n} それぞれについて、
　　r x[1] = (Σ{j=2〜n} x[j])
を満たす自然数 x[1] （しかもx[1]≧x[2]）があるかどうかを調べれば良い。
　特にr=1の場合には
　　x[1] = (Σ{j=2〜n} x[j])
は必ず自然数で、しかもx[1]≧x[2]であるから、解になっている。すなわち、どんなn(≧2)についても、S=Pを満たす解が存在します。
　もちろん　r＞1のときにも解が存在することがあって、たとえばn=5では二つの解<3,3,1,1,1>(r=2), <5,2,1,1,1>(r=1)があります。

　　================

で、ご質問のn=6の場合だと、
　　r ∈{1,2,3,4}
である。
　r=4のとき：r+1 = 5 の素因数分解の仕方は
　　5×1×1×1×1
　だけであり、従って,<x[2], x[3], x[4], x[5], x[6]> = <5,1,1,1,1>である。なので、
　　　r x[1] = (Σ{j=2〜n} x[j]) = 5+1+1+1+1
　より
　　　4 x[1] = 9
　なので、自然数解はない。
　r=3のとき：r+1 = 5 の素因数分解の仕方は
　4×1×1×1×1 と 2×2×1×1×1
　だけである。
　　<x[2], x[3], x[4], x[5], x[6]> = <4,1,1,1,1>の場合
　　　3 x[1] = 8
　　なので、自然数解はない。
　　<x[2], x[3], x[4], x[5], x[6]> = <2,2,1,1,1>の場合
　　　3 x[1] = 7
　　なので、自然数解はない。
　r=2のとき：r+1 = 3 の素因数分解の仕方は
　　3×1×1×1×1
　だけであり、従って,<x[2], x[3], x[4], x[5], x[6]> = <3,1,1,1,1>である。なので、
　　　2 x[1] = 7
　なので、自然数解はない。
　r=1のとき：r+1 = 2 の素因数分解の仕方は
　　2×1×1×1×1
　だけであり、従って,<x[2], x[3], x[4], x[5], x[6]> = <2,1,1,1,1>である。なので、
　　　x[1] = 6
　すなわち
　　<x[1], x[2], x[3], x[4], x[5], x[6]> = <6,2,1,1,1,1>
　は解である。
　そして他に解がないことも証明された訳です。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2016/07/18 19:21

0を自然数に含めるかどうかは流儀によって違うから、はっきり断りを入れるのが確実でしょう。

で、ご質問では0でない自然数の話らしい。

　　0でない自然数の列{x[n]}(n=1〜6) の和をS、乗積をPと書くと、問題は
　　S = P
である。ところで足し算もかけ算も可換なので、列{x[n]}には1以上の自然数が大きい順に並んでいるとしても同じ。

　列{x[n]}の要素が全部1ならS=6, P=1となって駄目。また、1でないのが先頭の1個だけでもS=x[1]+5、P=x[1] つまり
　　x[1]+5 = x[1]
となって、この方程式には解がない。なので、列{x[n]}の最初の少なくとも2個は1ではないと分かる。

　一方、列{x[n]}の要素がどれも2以上だとすると、列{x[n]}は大きい順に並んでいるのだから、
　　S≦6x[1]
　　P≧(2^5)x[1]
つまり不等式
　　(2^5)x[1]≦6x[1]
はS=Pとなるための必要条件である。この不等式にx[1]＞1を満たす自然数解はない。
　末尾の1個が1で先頭5個が1でないとすると、
　　(2^4)x[1]≦5x[1]+1
である。この不等式にx[1]＞1を満たす自然数解はない。
　末尾の2個が1で先頭4個が1でないとすると、
　　(2^3)x[1]≦4x[1]+2
である。この不等式にx[1]＞1を満たす自然数解はない。

　末尾の3個が1で先頭3個が1でないとすると、
　　(2^2)x[1]≦3x[1]+3
つまり
　　x[1]≦3
であり、x[1]＞1を満たす自然数解は x[1]=2とx[1]=3 である。
　x[1]=2の場合、最後の3個が1で先頭3個が1でない列{x[n]}に、要素が大きい順に並んでいるのだから、
　　x[1]=x[2]=x[3]=2, 残りは1
と決まってしまい、検算すると
　　S = 9, P=8
となって駄目。
　x[1]=3の場合、列{x[n]}は3,3,3,1,1,1か3,3,2,1,1,1か3,2,2,1,1,1のどれかということになるが、理屈を考えるまでもなく、検算してみればどれも落第。

　という訳で、列{x[n]}の最初の2個だけが1より大きく、残り4つは1である。すなわち
　　S = x[1]+x[2]+4
　　P = x[1]x[2]
だと決まった。ここで、
　　x[1]とx[2]の両方が奇数ならPは奇数、Sは偶数となる。
　　x[1]かx[2]の一方だけが奇数ならPは偶数、Sは奇数となる。
なので、x[1]とx[2]はどちらも偶数である必要がある。

　そこで
　　x[2]=2
だとしてみると方程式
　　x[1]+6 = 2x[1]
より
　　x[1]=6
と決まる。実際
　　S=6+2+1+1+1+1 = 12 = 6×2×1×1×1×1=P
となって、これは解だ。

　次に
　　x[2]=2+2k (k≧1)
だとすると、方程式
　　x[1]+2k+6 =(2k+2)x[1]
から
　　x[1]=(2k+6)/(2k+1)
となるが、k≧1のとき右辺は2より小さいのだから、x[1]≧x[2]＞2を満たす自然数解はない。
　つまり、解は上記のひとつだけ。

　以上、考えながらダラダラ書いたので、整理しなおせばもっと短くスマートにできるだろうが…

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/07/18 01:53

http://www.rapidtables.com/math/number/zero-numb …
なんてのもあるけどな.

No.1 回答者： usa3usa 回答日時： 2016/07/16 21:16

たとえば、(0,0,0,0,0,0)