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大学の確率統計の問題なんですがさっぱりわかりません。正規分布を使うとは思うのですが…

不良品率pの製品の山からn個の製品を取り出し、不良品の個数をXとするとき、P(│X/n-p│<0.01)≧0.95となるnはいくつか。ただしp≦0.05とする。

標準正規分布表を添付しました。
テストが近くて困っています。お助けください。

「確率統計、正規分布?の問題です」の質問画像

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A 回答 (2件)

No.1です。

標準正規分布表の使い方を理解していないようですね。

>「信頼区間95%」に全体のデータの 95.0% が入る範囲は"平均値± 1.96σ"←これが問題中で与えられていないのです。

 それは「標準正規分布表に書いてあります」ということなのですよ。

 画像に載せられた標準正規分布表は、表中の図にあるように 、変数 Z が「平均値(=0) ~ +x」の間にある確率(図の斜線部の面積)を表にしてあります。見出しが「x の値」、表の中が「確率(斜線部の面積)」です。

↓ 同じ形態の「標準正規分布表」。中身は同じだと思います。
http://www3.u-toyama.ac.jp/kkarato/2016/statisti …

 このタイプの「標準正規分布表」では、平均値から上半分だけの確率が書かれています。つまり、P≧0.95 となる確率は、この表では「この P の半分の値=0.475」を探すことになります。(分布表や「検定」のときに「片側」とか「両側」というのがこれです)

 では、表の中の数値(見出しではなく)が、「0.475」に近いものを探してください。
 タテ見出しの「1.9」、そこから右に、上の見出しで「.06」というところに「0.4750」がありますね。これはつまり、「x=1.96」ということです。
 つまり、表に書いてあるのは、
「0 ≦ Z ≦ 1.96 となる確率は 0.4750」
ということです。これを図の左半分に対称形に拡張すれば
「-1.96 ≦ Z ≦ 1.96 となる確率は 0.9500」
ということです。

 「標準正規分布」では、「平均値=0、標準偏差=1」ですから、実はこの「Zの値」が「標準偏差の何倍か」を表わしています。
 つまり、標準正規分布表か読み取れることは
「-1.96σ ≦ Z ≦ 1.96σ となる確率は 0.9500」
ということです。

 No.1に書いた
  平均値± σ の範囲に、全体のデータの 68.3% が入る
  平均値±2σ の範囲に、全体のデータの 95.4% が入る
  平均値±3σ の範囲に、全体のデータの 99.7% が入る
とか
  平均値± 1.65σ の範囲に、全体のデータの 90.0% が入る ←これが「信頼区間90%」
  平均値± 1.96σ の範囲に、全体のデータの 95.0% が入る ←これが「信頼区間95%」
  平均値± 2.57σ の範囲に、全体のデータの 99.0% が入る ←これが「信頼区間99%」
は、すべて「標準正規分布表」にそう書いてある、ということなのですよ。
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この回答へのお礼

よく理解できました。
講義とは比べ物にならないくらいわかりやすかったです。
本当にありがとうございました。

お礼日時:2016/07/24 18:43

不良品率pということは、正常品の確率は 1-p ですから、この中から n 個を取り出したときに、故障品が k 個である確率が


  P(k) = nCk * p^k * (1 - p)^(n - k)
という「二項分布」ですね。

 この場合には、
  期待値 E = np
  分散  V = np(1 - p)
となります。(これは必ず教科書に載っていると思います。高校数学の範囲かな?)
http://mathtrain.jp/bin

 また、二項分布は、nが大きいときには正規分布で近似できます。

 与えられた問題では、「n個の製品を取り出したときの不良品の個数がX」ということなので、期待値は np ですから
  X - np
が期待値との偏差です。問題の式の中に書かれているのは、これをサンプルサイズ n の 1% 未満にしたいということです。
  | X - np | < 0.01n

問題の式の中に書かれているのは、これを「1個あたり」に正規化、つまり「確率」表現したしたものです。
  | (X/n) - p | < 0.01

これは、絶対値を外せば
  p - 0.01 < X/n < p + 0.01   (1)
  np - 0.01n < X < np + 0.01n   (2)
ということです。

X の期待値は np ですから、この期待値の周りの ±0.01n の範囲内ということです。


 一方、正規分布では、ご承知の通り、標準偏差を「σ」として、
  平均値± σ の範囲に、全体のデータの 68.3% が入る
  平均値±2σ の範囲に、全体のデータの 95.4% が入る
  平均値±3σ の範囲に、全体のデータの 99.7% が入る
という特性があります。
http://www.stat.go.jp/koukou/howto/process/p4_3_ …

 σ側ではなく「全体の○○%」の方を基準にした言い方は、統計でよく言われる「信頼区間○○%」ということで
  平均値± 1.65σ の範囲に、全体のデータの 90.0% が入る ←これが「信頼区間90%」
  平均値± 1.96σ の範囲に、全体のデータの 95.0% が入る ←これが「信頼区間95%」
  平均値± 2.57σ の範囲に、全体のデータの 99.0% が入る ←これが「信頼区間99%」
ということですね。

 問題では、
   P(|X/n - p| < 0.01) ≧ 0.95
ということですから、「全体のデータの 95.0% が入る」つまり「信頼区間95%」ということです。

 つまり(2)の範囲に全体のデータの 95.0% 以上が入るようにするためには
  1.96σ≦ 0.01n   (3)
にすればよいということです。

 ここまでの考え方は理解できますか? 


 あとは
  分散  V = np(1 - p)
   ↓
  標準偏差  σ = √V = √[ np(1 - p) ]
であることから、(3)に代入した

  1.96√[ np(1 - p) ] ≦ 0.01n

を解けばよいことになります。

 つまり
  3.84*[ np(1 - p) ] ≦ 0.0001n^2
  n*[ n - 3840p(1 - p) ] ≧ 0

よって
  n ≧ 3840p(1 - p)

 たとえば、p=0.03 とすれば
  n ≧ 3840 * 0.03 * (1 - 0.03) = 111.744
つまり
  n ≧ 112 (個)
ということになります。


 多分、こんな考え方でよいと思うのですが。
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この回答へのお礼

丁寧で分かりやすい説明ありがとうございます。
考え方は理解できました。
実はこれは過去にテストで出ている問題なのですが、
「信頼区間95%」に全体のデータの 95.0% が入る範囲は"平均値± 1.96σ"←これが問題中で与えられていないのです。
これを使わずに解くため、標準正規分布表は与えられているので、正規分布を標準正規分布に変換すればいいのではと思い、z=(x-μ)/σを使おうとしましたが母平均μもわからず、どうしたらいいかわかりません…

お礼日時:2016/07/24 15:23

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Q±4σに入る確率について教えてください

ウィキペディアの検索より、
確率変数XがN( μ, σ2)に従う時、平均 μ からのずれがσ以下の範囲にXが含まれる確率は68.26%、2σ以下だと95.44%、さらに3σだと99.74%となる。
と分かりました。

そこで
4σ、


の場合確率はどうなるか教えてください。
よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

Excel で NORMDIST を使い、平均 50、標準偏差 10 (いわゆる偏差値)で計算してみましたら、次のようになりました。

 σ 0.682689492137086
2σ 0.954499736103641
3σ 0.997300203936740
4σ 0.999936657516326
5σ 0.999999426696856
6σ 0.999999998026825
7σ 0.999999999997440
8σ 0.999999999999999
9σ 1.000000000000000

Excelの関数の精度がどの程度のものか分かりませんが、9σで100%になりました。

QN(65,25)での分布の90パーセンタイルを決定せよ

お世話になっています。

[Q]Determine the 90th percentile of the distribution,which is N(65,25).
「N(65,25)での分布の90パーセンタイルを決定せよ」
という問題で難儀してます。
とりあえず,μ=65,σ=5という事だけわかりました。

これはどのようにして解けばいいでしょうか?

Aベストアンサー

かなりいいです。ただ、最後が足りません。標準正規分布で考えるために

Z=(X-65)/5

で変換はしますが、答えるときには戻さなければなりません。
1.65σ=8.25 から範囲は平均±8.25
∴P(56.75≦X≦73.25)

ついでにもう一点。ああいう表を見るときは間は比例配分で
補完した方がいいです。

1.64 0.4495
1.65 0.4505

ですから1.645のほうがいいと思います。


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