A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
No.1です。
もう少し補足。波の方程式が
f(x,t) = A*sin[ 2パイ(ft - x/λ) ]
と書けるのはよいですね?
ふつう出てくる波の図は、この式で「時間よ止まれ!」として t=const (例えば t=0)としたときの「波の空間上の分布」です。横軸は「座標 x」。
それに対して、ある座標で「時間とともにどう揺れるか」というのが、上の式で x=const としたときの「波の時間変化」です。グラフにするなら、横軸は「時間 t」にします。
ある座標でみると、時間とともにやって来るのは「過去の波」つまり「その座標よりもマイナス側にあった波」です。つまり「座標 x」と「時間 t」は「負号が逆の関係」になります。ここがちょっと分かりづらいので、よく考えておいてください。
この「波の2つの側面」をきちんと考えないと、この問題は解けません。
あとは、「自由端反射」は、鏡の向こう側(鏡に映った波)がそのまま通過してきたと考えればよいので、質問の問題の場合には、PQの延長線上に O の写像 O' を考えて、O' から直進してくる波そのものを考えればよいということです。
この O' を原点として、O'P を x 軸とし、Q, R, P のある側を「正」とすれば
(1)O' から発した波
f1(x,t) = A*sin[ 2パイ(ft - x/λ) ]
(2)P から発した波:O'Q=L とすると、座標 x=2L から逆方向に進む波なので
f2(x,t) = A*sin{ 2パイ[ft - (2L - x)/λ] }
= A*sin[ 2パイ(ft + x/λ - 2L/λ) ]
(3)この2つを合成した波は
f(x,t) = f1(x,t) + f2(x,t)
点 R は x= (3/2)L = (3/2)nλ なので
f1 = A*sin[ 2パイ(ft - (3/2)n) ]
= A*sin[ 2パイft - 3nパイ) ]
= A*sin[ 2パイft ] (n : 偶数のとき)
または
= -A*sin[ 2パイft ] (n : 奇数のとき)
f2 = A*sin[ 2パイ(ft - (1/2)n) ]
= A*sin[ 2パイft - nパイ) ]
= A*sin[ 2パイft ] (n : 偶数のとき)
または
= -A*sin[ 2パイft ] (n : 奇数のとき)
以上より
n:偶数のとき
f = 2A*sin[ 2パイft ]
よって
yR = 2y
n:奇数のとき
f = -2A*sin[ 2パイft ]
よって
yR = -2y
質問者さんの「きれいにならない」答えがどういうものか、「補足」にでも書いてみてください。何が違っているかが分かると思います。
No.1
- 回答日時:
y=Asin(2πft) で表される振動をする波源O,Pを考えると、O,Pからの距離 x における振幅がどうなるか分かりますか?
この y=Asin(2πft) はO、Pが時間の関数としてそのように振動しているだけで、空間中にはどう波が伝わるのか記述されていません。
「空間」中の伝播には、「波の速度」が必要ですが、それに関する記述はありませんね。
波の速度を V とすると、t秒後には x=Vt だけ進み、その間に波は sin(2πft) だけ振動する、つまり「ft回」振動します。波長をλとすれば
λ = Vt / ft = V/f
です。
従って、空間の座標を考慮した波の方程式は
f(x,t) = A*sin[ 2パイ(ft - x/λ) ]
これで、OQ=L, QR=L/2, PR=L/2 、つまり
O→R:x1=(3/2)L, P→R:x2=(1/2)L
ということですね。そして、L=nλ。
これに、「自由端反射」の条件を入れて点 R における波を足し合わせればよいはず。
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回答ありがとうございます<(_ _*)>
波の方程式は大丈夫なのですが
初め解いた時に
y=2Asin2π(ft-n)
となり、nが偶数か奇数かで位相が変わってしまうなぁと思い、そこで悩んでいました。
回答を見ると、nで場合分けすればいいということですね?