線形写像 内積 証明問題

下記の問題を、どうしても解けなくて困っています。
（φ（λx）＝λφ（x）、φ（x＋y）＝φ（x）＋φ（ｙ）　をどのように導けばいいかわかりません）
どなたか数学が得意な方ご教授ください。

問題
「φ:　を写像とする。もし任意のベクトルu,vに対して、等式（φ(u),φ(v)）=（u,v）が成り立つならば、φは線形写像であることを証明せよ。　　ただし（x,y）はベクトルx,yの内積をあらわす。」

No.1 ベストアンサー 回答者： think2nd 回答日時： 2016/08/11 00:33

数学が得意な方ご教授ください。

のト書きにいささか戸惑う。数学は特異でないと思う方(かた)が
お答えします。
ベクトル空間の次元と内積の定義がはっきりしていないので、高校レベルで答えます。
次元と内積の定義がはっきりしていなくても、問題に問題ないのですが、ベクトルを成分とおいて、解くと長ったらしくなるからです。
　見せつける事実は　φ（λx）＝λφ（x）、φ（x＋y）＝φ（x）＋φ（ｙ）ですが、面倒だから
　一つにまとめて　φ（λx＋y）＝λφ（x）＋φ（ｙ）であることを証明します。

　仮定より
　任意のベクトルuに対して、φ(u)=a　とおくと
　等式（φ(u),φ(u)）=（u,u）が成り立つから
　　　　(a,a)=(u,u)
　　　　　|a|^2=|u|^2
　　　　∴a=±u
　ⅰ)　a=uのとき　すなわち　φ(u)=u　のとき(この等式が任意のベクトルで成立しますよ。)
　　　　φ（λx＋y）のλx＋yが任意のベクトルだからuだと思えば
　　　　　φ（λx＋y）＝λx＋ｙ・・・①
　　　　となる。
　　　　　φ（x）=xもφ（ｙ)=yも成り立つわけだから上の①のx,yにφ（x）,φ（ｙ)
　を代入すれば
　　　　φ（λx＋y）＝λx＋ｙ=λφ（x）＋φ（ｙ）
　　となる。
　ⅱ)a=-uのとき　すなわち　φ(u)=-u　のとき
　　　　φ（λx＋y）のλx＋yが任意のベクトルだからuだと思えば
　　　　　φ（λx＋y）＝-λx-ｙ・・・②
　　　　となる。
　　　　　φ（x）=-xもφ（ｙ)=-yが成り立つわけだから②の-x,-yにφ（x）,φ（ｙ)
　を代入すれば
　　　　φ（λx＋y）＝λ(-x)-ｙ=λφ（x）＋φ（ｙ）
　いずれの場合にしても
　　　　φ（λx＋y）＝λφ（x）＋φ（ｙ）が成り立つわけだから、φは一次変換である。
　　
かな。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/08/11 11:34

あ、よく考えたら同時性の証明も簡単でした。

申し訳ない。

(φ(ra)-rφ(a), φ(ra)-rφ(a))=(φ(ra), φ(ra)) - 2(φ(ra), rφ(a)) + (rφ(a), rφ(a))
= (ra, ra)- 2(ra, ra)+(ra, ra)=0

φの連続性は必要ありませんでした。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/08/11 11:26

(a, a)=0 の時 a=0(ベクトル) を利用すると

φ(a+b)=φ(a)+φ(b) の証明は
(φ(a+b)-φ(a)-φ(b), φ(a+b)-φ(a)-φ(b))=0 と同等です。

(φ(a+b)-φ(a)-φ(b), φ(a+b)-φ(a)-φ(b))=

+ (φ(a+b), φ(a+b)) - (φ(a+b), φ(a)) - (φ(a+b), φ(b))
-(φ(a), φ(a+b)) + (φ(a), φ(a)) + (φ(a), φ(b))
-(φ(b), φ(a+b)) + (φ(b), φ(a)) + (φ(b), φ(b)) =

+ (a+b, a+b) - (a+b, a), - (a+b, b)
- (a, a+b) + (a, a) + (a, b)
- (b, a+b) + (b, a) + (b, b) =

+(a, a) + (a, b) + (b , a) + (b, b) - (a, a) - (b, a) - (a, b) - (b, b)
- (a, a) - (a, b) + (a, a) + (a, b)
- (b, a)- (b, b) + (b, a) + (b, b) = 0

同次性は結構面倒くさいです。問題の条件だけでは不足なので
(φは連続)という条件を加えておきます(重要！)。

(φ(0), φ(0)=(0, 0)=0 なので φ(0)=0

とすると
φ(2a)=φ(a+a)=2φ(a) は加法性から明らか

φ((n-1)a)=(n-1)φ(a) (n > 2) を正しいと仮定すると

φ((n-1)a) + φ(a)=nφ(a)=φ(na) なので
数学的帰納法から任意の正数nに対して nφ(a)=φ(na)

φ(0・a)=0φ(a) は明らかなので
φ(na)+φ(-na)=φ((n-n)a)=0 →φ(-na)=-φ(na)なので

任意の整数pに対して pφ(a)=φ(pa)

任意の 0以外の整数m に対して ma = x とすると

φ(pma)=mφ(pa)=pφ(ma)→φ(pa)=(p/m)(ma)

a = x/m だから

φ((p/m)x)=(p/m)φ(px)

従って任意の有理数 q に対して
φ(qa)=qφ(a)

φが「連続」なら点列 qi が実数 r に収束するとき
φ(qia)もφ(ra) に収束するので、任意の実数rに対して

φ(ra)=rφ(a)

(証明終)

蛇足ですが、φは回転、又は鏡映なので、ANO1さんの答えは
違っていることを指摘しておきます。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/08/11 01:20

(φ(u), φ(v)) = (u, v) ということから (φ(λu), φ(u)) はどう変形できるだろうか.