「連続する二つの自然数の和に小さい方の数の２乗を加えた数は大きい方の数の２乗になる。」証明

「連続する二つの自然数の和に小さい方の数の２乗を加えた数は大きい方の数の２乗になる。」証明

No.8 回答者： bendoku 回答日時： 2016/08/31 23:53

小さい数をXとすると、連続する大きい数は、X＋1と表すことができる。

これを問題文に当てはめると、
和は、X＋X＋1　　に、Xの二乗をたすと、　X二乗＋2X＋1。これは、（X＋1）の二乗です。

No.7 回答者： Witschie 回答日時： 2016/08/26 15:28

たす　じゅんばんを　かえます

九九の　ひょうで
たとえば　五五　二十五　から
まず　５ふやして　右に　一つ　すすんで
　五六　三十
つぎに　６ふやして　下に　一つ　すすんで
　六六　三十六
これは　ななめ右下に　すすむのと　同じです
下　右　のじゅんに　すすむのも　同じです

No.6 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2016/08/25 08:49

図で示すと、こういうことね。

一辺がｎ+1の正方形の面積は

nxn=n²
の小さい正方形と、
nx1＝ｎ
(n+1)x1=n+1
二つの長方形を合わせたものであることが、視覚的に把握できます。

帰納法はすべての整数ｎに対して証明できているので不要です。

No.5 回答者： puyo3155 回答日時： 2016/08/25 01:42

式を展開すればわかることになぜ数学的帰納法を使うの？ぜひその証明見てみたい。

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2016/08/24 23:41

皆さんの回答は証明になっていないのでは？

これは、数学的帰納法を使って証明します。

まず、k＝1の時に成立することを示します。

次に、k＝nの時に成立すると仮定すると、
k＝n＋1の時にも成立するということを数式で示します。

これで、一般性（蓋然性）が証明されます。

皆さんの回答は、1ケースのみ説明しており、
蓋然性がありません。

No.3 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2016/08/23 10:26

証明は先の回答の通りですが、考え方としては、

１辺がｎの正方形にの横にnx1の長方形をくっつけて、上に1ｘ（ｎ+1）の長方形をくっつけると
(ｎ+1)ｘ(n+1）の正方形が出来上がるって考えることもできます。

この回答へのお礼

内容は、あまり理解できていないのですが、
わからなかった問題が、少しでも、わかったので、助かりました。
どうもありがとうございました

お礼日時：2016/08/24 17:23

No.2 回答者： papabeatles 回答日時： 2016/08/23 10:18

３と４で考えましょうか

３＋４＝７
７＋９＝１６＝４＾２
と言う事でしょうか
１１と１２で考えます
１１＋１２＝２３
２３＋１２１＝１４４＝１２＾２
全ての数をｎと置き換えて考えます。
ｎ＋ｎ＋１＝２ｎ＋１
2n+1＋n^2＝n^2＋2n+1
　　　　　　＝（ｎ＋１）＾２

なかなかおもしろい定理ですね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
助かりました

お礼日時：2016/08/24 17:24

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/08/23 10:13

任意の自然数を n としたとき、連続する二つの自然数の和に小さい方の数の２乗を加えた数は

　　P = [ n + (n + 1) ] + n^2
　　　= n^2 + 2n + 1
　　　= (n + 1)^2

この回答へのお礼

ありがとうございましあ

お礼日時：2016/08/24 17:25