2002年の千葉大学 logが無理数である証明問題

タイトルのとおり無理数の証明問題についてお聞きしたいのですが


log[2]nが整数でない有理数にならないことを自明とすれば。
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log[2]3が無理数であることの証明は

log[2]3が正の整数であると仮定すると

log[2]3＝q


2^p＝3


左辺は偶数であるが、右辺は奇数であるので矛盾。

以上より、log[2]3は無理数である。


この証明方法って率直にどう思われますか？


教えていただきたいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： ngyikti 回答日時： 2016/09/09 12:01

無理数でないことを証明するならば、有理数であると仮定して矛盾を導くのが基本です。

log[2]3=p/q (pは整数、qは自然数)とおけば
2^(p/q)=3 より 2^p=3^q となる。
2と3は互いに素よりこれをみたすpとqは存在しない。

で終わりです。ごく短い証明であることが分かりますよね。短い証明の中で「自明」という単語を使うのはものすごく印象が悪いことを覚えておいてください。
あなたの証明と私の証明、長さは同じくらいですがあなたのはlog[2]3が「正の整数」の場合だけしか言えていないのに対し、私のは有理数全般を網羅できています。採点者からすれば、手間は変わらないのに何故そこを自明として省略するの？？となります。したがってあなたの点数は半分以下、もしかすると0点の可能性もあります。
長い証明の中で、証明の本質でなくかつ簡単に分かることを自明として省略するのはまだ許容範囲です。
しかし今回のような問題は、logの計算が本質です。それを正の整数の場合しかやらないとは大きなミスであることが分かりますか？

この問題に関しては以上です。
最後に質問とは少しずれますが、今後のために。
入試に関しては出来るだけ省略しないことがオススメです。
大学以上の数学では「相手に証明の本質を伝えること」が中心なので、簡単な計算などは省略して大丈夫なのです。入試の採点官である大学の先生も普段はそういう感覚なので、多少のことは省略しても違和感を持たないかもしれません。
しかし入試では「どこまで精密に書けるか」が争点です。大学生に教えるときはすごく細かいことまでは問わない先生でも、入試の採点となるとそこまでチェックしてくるかもしれません。
大学の先生が普段の感覚で採点するか、入試モードに切り替えて採点するかは分かりません。それならば省略せずにきっちり書いた方が確実に点数をもらえますよね。

長くなりましたが以上です。勉強がんばってください。

この回答へのお礼

ありがとうございます、この質問がきっかけで勉強できたと思います。

お礼日時：2016/09/09 17:52

No.1 回答者： tumagie 回答日時： 2016/09/09 05:09

「log[2]nが整数でない有理数にならないこと」を自明とするのは無理があるように思います.

(もしそれを自明としてよいのなら例えば「2^1=2<3<4=2^2 より 1<log[2]3<2 なので log[2]3 は無理数である」とすれば証明ができてしまいますが…)