行列について

π/6の回転を２回続けて行うとπ/3の回転となることを行列の式で示すってどうすれば証明できますか？

また、

A=1 0 B= 1/2 -√3/2
0 -3 √3/2 1/2

はどのような幾何的意味を持っていますか？

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/10/12 10:34

これを回転行列のところまで、ゆっくり読みましょう。

http://www.nakamuri.info/mw/index.php/%E8%A7%92% …

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/10/12 00:25

(回転後の座標）＝（変換行列）（回転前の座標）

という「π/6の回転の変換行列」を作ればよいです。

証明？　「π/6の回転」の「変換行列」をきちんと計算したものと、現実に回転した座標が一致すれば証明できたことになります。

おそらく2次元の話をしているので、

(x1, y1) → 原点回りに π/6 の回転→(x2, y2) とすれば
　x1 = Acosθ, y1 = Asinθ
と書いて（ A = √(x1^2 + y1^2) = √(x2^2 + y2^2) ）

　x2 = Acos(θ + π/6)
　　 = A[ cosθ * cos(π/6) - sinθ * sin(π/6) ]
　　 = A[ cosθ * (√3 /2) - sinθ * (1/2) ]
　　 = (√3 /2)x1 - (1/2)y1

　y2 = Asin(θ + π/6)
　　 = A[ sinθ * cos(π/6) + cosθ * sin(π/6) ]
　　 = A[ sinθ * (√3 /2) + cosθ * (1/2) ]
　　 = (√3 /2)y1 + (1/2)x1
　　 = (1/2)x1 + (√3 /2)y1

ということで、行列を使えば

　⌈ x2 ⌉ 　 ⌈ √3 /2　 -1/2 ⌉ 　 ⌈ x1 ⌉
　| 　 | = | 　 　　　　　 | = | 　 |
　⌊ y2 ⌋ 　 ⌊ 1/2　　√3 /2⌋ 　 ⌊ y1 ⌋

と書けます。（フォントによってはズレズレになるかな？）

これは「原点回りに φ だけ回転させる」「変換行列」が

　⌈ x2 ⌉ 　 ⌈ cosφ　-sinφ⌉ 　 ⌈ x1 ⌉
　| 　 | = | 　 　　　 　 | = | 　 |
　⌊ y2 ⌋ 　 ⌊ sinφ　 cocφ⌋ 　 ⌊ y1 ⌋

ということです。

パイ/6 で2回回転したものと、パイ/3 で回転したものとを比較してみればよいです。

＞また、
＞
＞A=1 0 B= 1/2 -√3/2
＞0 -3 √3/2 1/2
＞
＞はどのような幾何的意味を持っていますか？

そんなのは分かりません。それがどういう幾何学的場所の数値かによりますから。
上に書いたように、回転角 φ をいろいろな角度にしたときの値、回転させるベクトルの長さなどではないですか？

No.1 回答者： tantanmm 回答日時： 2016/10/12 00:00

π/6の回転行列は

cos(π/6) -sin(π/6)
sin(π/6) cos(π/6)
=
√3/2 -1/2
1/2 √3/2


π/6 の回転を２回行うので，上の行列を２乗（同じ行列２つの積）を計算すればわかる
=
(√3/2)^2+(-1/2)(1/2) (√3/2)(-1/2)+(-1/2)*(√3/2)
(1/2)(√3/2) + (√3/2)(1/2) (1/2)(-1/2) + (√3/2)^2

=
1/2 -√3/2
√3/2 1/2

=
cos(π/3) -sin(π/3)
sin(π/3) cos(π/3)


A=
1 0
0 -3
Aは，xはそのままでyは -3倍 なので，
x軸で上下反転して縦に３倍に引き伸ばした感じ（こんな説明でいいのか？）

B=
1/2 -√3/2
√3/2 1/2
上の回転が答え

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2016/10/27 02:37