灘高校 2009数学入試問題 【６】番の（２） 教えて下さい

赤本に書いてあるやり方は分かるんですが，どうにも納得がいきません。
（１）で45°を証明しているのに，（２）でそれを利用するやり方がきっとあるはずだと思ってます。
分かる方教えて頂けませんか？

【問題】
【６】AB＝2，∠AOB＝90°の直角二等辺三角形AOBがある。AB上に（両端は含まない）２点C，DをCD＝１となるようにとり，点EをAC＝CE，∠ACE＝90°となるように三角形のAOBの外側へとる。またABと線分OEの交点をFとする。次の問いに答えよ。
（１）∠FOD＝45°となることを証明せよ。

（２）点Fを通り，直線OBに平行な直線をℓ，点Dを通り直線OAに平行な直線をmとし，直線ℓとOAとの交点をP，直線mとOBの交点をQとする。また２直線ℓ，mの交点はRとする。このとき，四角形OQRPの面積は三角形AOBの面積に等しいことを証明せよ。

No.2 ベストアンサー 回答者： hiccup 回答日時： 2016/10/19 19:06

>∠FOD＝45度としたときに，対角線ABとの交点F，Dが，AF，FD，DBで直角三角形の三辺になるという神秘的な性質があるわけで、

すごい！
気づかなかったです。（関係ないけど思いついた証明の図を添付）


さて、∠FOD = 45°　をスタートに置くならば (￣ー￣)

△FOB と △ODA で
　∠B = ∠A = 45°
また
　∠BFO = 45° + ∠AOF
　∠AOD = 45° + ∠AOF
なので
　∠BFO = ∠AOD
よって
△FOB ∽ △ODA
よって
　BO : AD = FB : OA
から
　FB×AD = OA×OB　- - - - - - - - - - - - （い）

長方形においては
　OP = FB/√2 、OQ = AD/√2
なので、その面積について（い）から

　OP×OQ = FB×AD/2 = OA×OB/2 = △OAB

が成り立つことがわかる。

=====

三角形が相似なのは、45° が３つもあるからでしょうね。別に 45° でなくても相似になるのがおもしろい。

No.1の回答とは相似の根拠が違うだけなので、微妙な気分。

用意されたものが見事にはまっているので、正しいやり方があるとすればこれだわと確信したのですが、この相似な三角形を利用するやり方がその本に書かれているものなのでしょうか？
無粋と評価されたものかどうかが気になります。

あ、No.1の図は上出来と思ったものを自慢したかっただけですから気味悪かったらスルーでいいです。
言い訳すれば、正方形に正方形を詰めて各点の位置を設定できるってことなんです。ただそれだけ。

この回答へのお礼

おお！
これが直感的に証明する図ということになりそうですね。

赤本に載っていたのは、△AFE　∽　△BFOを利用するやり方でした。
AC=ａとおいて、各辺をaを使った文字で表していくやりかたです。計算が煩雑で灘高校がこんなきちゃない解答の問題だしてくるわけないじゃん！と思いました（笑
hiccupさんの相似は、計算はシンプルですし、移動すれば直角三角形の神秘を見事に表現するきっかけになってますし、完璧だと思います。
とても参考になりました。ありがとうございました！

お礼日時：2016/10/20 03:24

No.1 回答者： hiccup 回答日時： 2016/10/18 20:07

あ、冷やかしです。

(2) を解くために (1) の答えを利用する、ということは受験数学の原則であるとは必ずしもいえないと思います。
けれども、(1) を解こうとしてたら (2) を解くための準備ができていたということはあると思います。

添付した図は、点Dと点Fを決める本質を突いていると自画自賛するものです。
ここから (1)、(2) が解けました。

(2) は △FOB ∽ △ODA から求めましたが、そのとき、４点 A、O、D、Eが同一円周上にあることを使いました。使わなくてもできるかもしれません。
(1) を解くために調査したことが活かされたことは間違いないですが、45度は使わなかったんだなあ。


なぜこんなもの書いたかというと、良い図が描けたからともうひとつ、こんな良問を作る制作者に嫉妬する！と言いたかったからです。
あ、直感的にわかってしまう図があったら知りたいです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
おっしゃるとおり，（１）は（２）で必ずしも使わないこともあるとは思うんですが，
この問題に限っては，∠FOD＝45度としたときに，対角線ABとの交点F，Dが，AF，FD，DBで直角三角形の三辺になるという神秘的な性質があるわけで，赤本のあんな無粋な証明で終わるにはもったいないなと思ったんです。

自分は，AF＝aとおいて，AF^2+DB^2=FD^2を無理矢理式変形で証明する方法しか思いつきませんでした。
計算が冗長で，非常に面倒です。

（ごめんなさい，添付頂いた図はなにか本質を示しているのはわかりますが，それが何か分からない・・・^^;）

お礼日時：2016/10/18 23:18