場合の数

ちょうど3種類の数字を用いて表せる4桁の自然数（例えば、1233、3080）の総数を求めよ。

質問者からの補足コメント

• 10C4をやっているのでしょうか？今回使えるのは4桁の自然数に対して3種類のみだと思うのですが？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/10/30 15:06

• ちなみに回答は3888通りとなっています。やはり場合の数は難しいですね、まだ頑張れる方がいたらお願いします。週明けになれば身内に聞けますが…

    補足日時：2016/10/30 19:11

No.9 ベストアンサー 回答者： tosa0824 回答日時： 2016/10/31 01:00

0が0個のとき

9C3×3C1×4P1/2=9×8×7×3×4×3×2÷(3×2×2)=9×8×7×3×2=3024
1~9のうち3つ選び、さらにその中から1つ選び、4つの数字の順列を取って、同じ数字の重複を除外(2で割る)

0が1個のとき
9C2×2C1×(4P1-3P1)/2=9×8×2×(24-6)÷(2×2)=9×8×9=648
1~9のうち2つ選び、その中から1つ選び、先頭0を除外した4つの数字の順列を取って、重複を除外。

0が2個のとき
9C2×2P1×3C2=36×2×3=216
1~9のうち2つ選びX,Yとすると、その2つの順列が、XYとなるか、YXとなるかで2P1通り。さらに、0が入る位置XY00,X0Y0,X00Yで3C2通り。

よって、
3024+648+216=3888個。

もっとスマートなやり方がありそうなんですが…

この回答へのお礼

どの解法も興味深かったのですが、似たような問題にも対応できそうなこの回答をベストアンサーにされていただきました。この場で言うのも変ですが、皆さんそしてtosaさんありがとうございました！

お礼日時：2016/10/31 22:36

No.11 回答者： yaemon_2006 回答日時： 2016/10/31 17:03

もう一つ、

9 * 9 * 8 * (3 + 2 + 1) = 3888

答 3888通り

No.10 回答者： yaemon_2006 回答日時： 2016/10/31 12:28

先頭とそれ以外が同じ場合、

9 * 9 * 8 * 3C1 = 1944
先頭以外の2つが同じ場合、
9 * 9 * 8 * 3C2 = 1944

1944 + 1944 = 3888

答 3888通り

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/10/31 00:42

じゃあ、もう一遍。

4種の数ABCDを4個並べる並べ方は 4!=24通り。
うち2個が同じ場合、例えばAとDを同じ数すると、
半分の12通り。同様に、AとC, Aと Bを同じにすると
それぞれ12通り、
以上から3種の数を4個並べるやり方は36通りになる。

3種の数の中に０が混じる場合、4桁の正数(先頭0は不可)の数は
0が2個になるパターンは 以下の6 通り、
AB00, A0B0, A00B
BA00, B0A0, B00A

0が1個のパターンは以下の１８通りなので
ABA0, AB0A, A0BA,
AAB0, AA0B, A0AB,
BAA0, BA0A, B0AA,
BAB0, BA0B, B0AB,
BBA0, BB0A, B0BA,
ABB0, AB0B, A0BB,

合計24通り。

10種類の数から3個選ぶ選び方は、順番を無視すると
10C3=120
0を含まない9種類の数の中から3個選ぶ選び方は、順番を無視すると
9C3=84
従って0を含む選び方は120-84=36通り

以上から

84x36+36×24=3888 通り。

No.7 回答者： tosa0824 回答日時： 2016/10/30 18:36

No.5です。

先程のは間違いです、すみません。

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/10/30 15:57

4種の数ABCDを4個並べる並べ方は 4!=24通り。

AとDを同じ数と見なすと、半分の12通り。
従って3種の数で作る4桁の数(先頭0可)は12×3=36通り。
3種の数の中に０が混じる場合、4桁の正数(先頭0は不可)の数は
地道に数えて18通り。

10種類の数から3個選ぶ選び方は、順番を無視すると
10C3=120
0を含まない9種類の数の中から3個選ぶ選び方は、順番を無視すると
9C3=84
従って0を含む選び方は120-84=36通り

以上から

84x36+36×18=3744通り。

No.5 回答者： tosa0824 回答日時： 2016/10/30 15:16

0が0個の場合

(9C3×3)×4P1=9×8×7×4×3×2/(3×2)=2016
0が1個の場合
(8C2×2)×(4P1-3P1)=56×18=1008
0が2個の場合
9C2×(4P1-3P1-2P1)=36×16=576
よって、
2016+1008+576=3600個
です。

No.4 回答者： ocean-academy 回答日時： 2016/10/30 15:13

10C3・3C1・4！/2！ですね多分。

もう三年以上前のことなんであやふやでした。

No.3 回答者： ocean-academy 回答日時： 2016/10/30 15:10

すいません寝ぼけてました。

No.2 回答者： ocean-academy 回答日時： 2016/10/30 14:58

間違いました。

(1)は、【とりあえず重複順列を考える】でした。
この場合、(1)は、10・9・8・7/4・3・2・1ですね。
すいません