空間の点から平面への垂線

空間において、平面外の１点から平面へ垂線を下ろす方法について伺います。私はその１点を中心として平面に円を描き、円の中心を２弦の垂直２等分線の交点として求めて、中心と結ぶ以外に思いつかないのですが、他にいい方法があれば教えてください。円の中心の求めかたは他にもあるでしょうが、最初に円を描く以外の方法もあるのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 早速の回答ありがとうございます。しかし、私は作図の仕方について質問したつもりです。(空間の作図があるものとして)平面上に円を描いてしまえば、その中心を作図で求めることは、質問にも書いてあるとおり簡単なことです。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/11/08 16:27

• 平面の場合と同様に、作図の道具は定規とコンパスのみとします。空間の定点にコンパスの足を固定して、ぐるっとコンパスを回せば平面上に円が描けると思います。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/11/12 06:48

• 現実的な作図ではなくて、最初に質問で但し書きしたように、あくまで空間で作図が可能であると仮定した上での話です。平面の場合と同様に2点間を結ぶ直線は引けるものだとします。さらに言えば、平面の場合の拡張として、与えられた1点を通る面や、1点から等距離にある点の集まりである球面も作図可能であるとしても良いかもしれません。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/11/12 19:36

• ご回答ありがとうございます。実は、「空間直観力に関する二三の考察」というホームページで、私の質問にあるような回答が誤りであるとされていたので投稿した次第です。是非ご参照ください。正解は載っていません。貴兄のご回答もほぼ同じであるように思われます。筆者が意図した回答がどのようなものか知りたいのです。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/11/12 23:23

• ありがとうございます。ついでに、私がこの前に提出した質問で「直線と平面のなす角について」というのがあるのですが、同資料の中で「直線を真上から見たときの影(正射影)である直線との角」というような答えが誤りであるとされています。これについてもどうお考えか教えてください。

    補足日時：2016/11/13 08:50

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/11/15 16:03

＞「直線と平面のなす角について」というのがあるのですが、

＞同資料の中で「直線を真上から見たときの影(正射影)である
＞直線との角」というような答えが誤りであるとされています。

法線との角度を出して、90度との余角を出すというのが定番だとは
思いますが、面への正射影ベクトルとなす角を出しても同じだと思います。

誤りだという根拠はなんでしょう？

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/11/13 07:20

>(6)　Aか らコンパ スで適 当な長 さ を半径

>とす る円 を平面P上 にか き,そ の中心
>とAと を結ぶ。

これかな?

私には誤りが有るとは思えません。
論文（？）の著者の思い違いでは?

No.4 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/11/12 20:41

本質的な差はなさそうだけど、

とりあえず表面的に円が出てこない方法は

点をA、平面をRとします。

(1)コンパスの足の間の距離を適当に調整して、
Aから等距離にあるR上の異なる2点にコンパスで印をつけます。
これを B, C とします。
(2) 定規とコンパスで BCの中点D とBCのR上での垂直2等分線Qを
求めます。
(3)ADの長さをコンパスに写し取り、Q上でAからの距離が
ADと同じになるのもうひとつの点に印をつけます。これをEとします。
(4)DEの中点を求めます。

以上

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/11/12 09:45

>図の道具は定規とコンパスのみとします。

いや、そんな大雑把な話ではなく、細かなルールです。
ちょっと思いついただけでも？

・空中の２点を結ぶ線を空中に引けるの？ 平面の上だけ？
・空中の点、交点をコンパス/定規で利用できるの?
・空中の3点で定規を支えつつ、定規と平面の交差線を引けるの？
それとも定規で使えるのは2点まで？

恐らくほんの一部だと思います。2次元よりはかなり複雑になりそう。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/11/12 05:28

これ、作図に使える道具とか、ルールを決めないと

話にならないのでは？

平面に円をどうやって描くのですか？

No.1 回答者： 銀鱗 回答日時： 2016/11/08 15:57

＞その１点を中心として平面に円を描き、

これ、表現がおかしいことに気づこう。
そして手法としておかしいことに気づくこと。

・・・
平面を示す式を作成する。
空間上の点を中心にした【球】の式を作成する。
二つの式の共通する値の最小値を求める。
これで平面と球の接点を求めることができる。
あとはこの接点と、空間上の点を結べばよい。

・・・余談・・・
平面上に底面とする円錐を描きたいんだろうと思うんだけど、
その円錐の底面の中心はどうやって求めるんだい？
最終的にそこを求めようとしているのではないのかな。
すると、
＞その１点を中心として平面に円を描き、
では正しく伝わらないことを理解しよう。

ではどうするか。
回答にも示したように【球】を用いる。
球との接点にできる円に対してなら意図するようになる。

現実世界では、伸縮しない糸を張って、一番短い距離で平面と接した所と結ぶ。