0×0は不定形？

lim[x→∞]logx/√x=0のときlim[x→∞]logx/xを示せ。また0<=logx/√x<=2/eとする。と言う問題
僕の回答はlim[x→∞]1/√x=0 より
lim[x→∞]logx/x=lim[x→∞](1/√x・logx/√x)=0
としたのですが、解答では上の不等式から挟み撃ちを使って解いています。僕の解答ではダメなのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/11/16 16:07

その状況だと

lim[x→∞]logx/√x=0
をどこで示しているのかが問題になるね. (1), (2) のどこにも書いていなかったら #1 の指摘の通りまずい.

当然だけど (2) でこの極限を求めていれば問題ない. 一方 (1) で示している時にどうなるかだけど, これは採点基準と採点者によっちゃうかな. 実際のところ (1) で
0 ≦ x のとき 0 ≦ log x/√x ≦ 2/e
を示すときには上の極限は不要で, そうすると採点者 (と採点基準) によってはこの極限を「(見) なかったことにする」かもしれない. そのように判断されると, やっぱり (2) の証明中上の極限は使えなくなってしまう.

もちろん「(1) に書いてあるので OK」と思って採点するかもしれないので, 一概にどうとは言えないなぁ. たいていの場合「甘めに採点する」と思うので ((1) の解答に触れていれば) あなたの解答を OK とする可能性は高いと思うけど, 「ダメ」と言われたらそれはそれでしょうがないかなという気もする.

この回答へのお礼

詳しく解説していただきありがとうございました❗️ またよろしくお願いします

お礼日時：2016/11/16 16:13

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/11/16 11:09

えぇと, 本当に

「lim[x→∞]logx/√x=0のときlim[x→∞]logx/xを示せ。また0<=logx/√x<=2/eとする。」
という問題だとしたら, その問題を出した人間の頭がちょっと足りてないのかなって心配になる.

まず, 「～を示せ」というなら本来「～」のところは命題であるべき. まあ「lim[x→∞]logx/xを示せ」は「lim[x→∞]logx/x『の値』を示せ」と解釈できなくもないけど, 「命題じゃないから示すことはできません」って返されたときに困ると思う (数学的にはそれでおかしくないし).

もう 1つ, 「lim[x→∞]logx/xの値を示せ」という問題だとしても「lim[x→∞]logx/√x=0」と「0<=logx/√x<=2/e」の両方の条件があるのは冗長で, 一方だけで十分. 後ろの条件だけを使うとはさみうちになるけど, 前の条件を使えばあなたのやり方で OK です.

この回答へのお礼

たしかにこの問題は実は
関数f(x)=logx/√xについて次の問いに答えよ。
(1)x>=1におけるf(x)の最大値と最小値を求めよ。
(2)(1)の結果を利用して、lim[x→∞]logx/x=0を示せ
(3)lim[x→∞]log(logx)/√xという問題でした。
数学の問題って少し変えただけでもかなり意味が変わってしまうんですね。素人の自分がやることではありませんでした。すいません。読んでいて驚かされました。
それでこの場合だとどうなのでしょうか？
お手数をおかけしますが教えて下さい。

お礼日時：2016/11/16 12:13

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/11/16 10:14

1/√x・logx/√x　で　1/√xが0に収束するからと言って、

1/√x・logx/√x　が　0に収束する、とは言えない。

例えば、2x・(1/x)で　2xが０に収束しても
2x・(1/x)は2だね。