(上智大･改)って書いてある、1番上の問題が分かりません。わかる方教えて下さい！

(上智大･改)って書いてある、1番上の問題が分かりません。わかる方教えて下さい！

質問者からの補足コメント

• 積分区間は、1からe、です。見にくくてすみません。。。

    補足日時：2016/11/29 21:31

No.1 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2016/11/29 22:45

まず、被積分関数の絶対値をはずす。

i) a≦0のとき、log(x)-a≧0なので、F(a) = ∫[1→e](log(x)-a)dx = a(1-e)+1

ii) a≧1のとき、log(x)-a≦0なので、F(a) = ∫[1→e](a-log(x))dx = a(e-1)-1

iii) 0≦a≦1のとき、積分区間を2つに分けて考えて、
　　1≦x≦e^aでは、log(x)-a≦0
　　e^a≦x≦eでは、log(x)-a≧0
なので、
　F(a) = ∫[1→e^a](a-log(x))dx + ∫[e^a→e](log(x)-a)dx
　　　= 2e^a-(e+1)a-1

F(a)の式が判ったので、増減表を書く。

i)のときは単調減少(aの1次式で、傾きが負)、ii)のときは単調増加(aの1次式で、傾きが正)。
iii)のときは、F'(a) = 2e^a-(e+1)で、F'(a)=0を解くと、a=log((e+1)/2)。
1 < (e+1)/2 < eなので、0< log((e+1)/2) <1で、これはaの範囲（つまり、0≦a≦1）に入っている。

以上から増減表を書くと（ネットの掲示板では書きにくいので、文章で書きます）、

　　a≦0では単調減少（←iのとき）
　　0≦log((e+1)/2)ではF'(a)<0なので単調減少（←iiiのときの左半分）
　　a=log((e+1)/2)ではF'(a)=0
　　log((e+1)/2)≦a≦1ではF'(a)>なので単調増加（←iiiのときの右半分）
　　1≦aでは単調増加（←iiのとき）

なので、F(a)が最小になるのはa=log((e+1)/2)のときで、最小値はF(log((e+1)/2)) = e-(e+1)log((e+1)/2)

この回答へのお礼

ありがとうございます！！！

お礼日時：2016/11/29 23:43

No.2 回答者： springside 回答日時： 2016/11/29 22:54

No.1です。

補足します。

最初の被積分関数の絶対値をはずす部分ですが、与式の定積分を見ると、xの範囲は1≦x≦eなので、
絶対値の中に入っているlog(x)は、0≦log(x)≦1です。なので、log(x)-aの符号を考えるため、log(x)
との大小比較において、
　　aが[0,1]の左にあるのか(iの場合)
　　aが[0,1]の右にあるのか(iiの場合)
　　aが[0,1]の中にあるのか(iiiの場合）
で場合分けしています。

iiiの時はちょっとややこしくて、絶対値記号の中のlog(x)-aが0以上になる区間と、0以下になる区間
で場合分けしています。

で、F(a)の具体的な式が求まってしまえば、あとは(aの範囲に気を付けて）一直線です。