統計学 不良品の問題

統計学の参考書でわからない問題があったので、解答と解き方を教えていただきたいです。
初心者のため、かなり基礎的なものかもしれませんが、よろしくお願いします。

ある生産工程では、製品の10%の不良品が出ると言う。この製品の仕切りから無作為に400個取り出すとき、次の問いに答えよ。なお、標本の大きさは十分大きいとみなしてよい。
⑴50個以上不良品が含まれる確率を求めよ。
⑵不良品の数が40−cから40＋cの範囲にある確率が0.9となるようなcの値を定めよ。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/12/06 22:34

「製品の10%の不良品」なので、400個の標本の中の不良品の「期待値」(不良品の出現する平均値）は

　　400 * 0.1 = 40 個
です。しかし、必ず40個というわけではなく、40個を中心に「何らかの分布」をするということです。
　どういう分布かといえば、良品である確率 0.9、不良品である確率 0.1 の「二項分布」をします。

　つまり、400個のうち、k個が不良品である確率は
　　P(k) = 400Ck * (0.9)^(400 - k) * (0.1)^k
ということになります。

　二項分布における不良品の期待値、分散は
　　E = 400 * 0.1 = 40
　　N = 400 * 0.1 * 0.9 = 36
です。
　標準偏差は「分散」の平方根なので
　　標準偏差 σ=√36 = 6

　詳細は、こんなサイトを参考に。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85 …

　二項分布は、サンプル数が大きければ「正規分布」に近づきます。「標本の大きさは十分大きいとみなしてよい」ということは、つまり「正規分布」とみなしてよいということです。

　「正規分布」の特性は、テキストには必ず書いてあります。
http://www.stat.go.jp/koukou/howto/process/p4_3_ …

　標準偏差を「σ」として、
　　期待値（平均値）± σ　の範囲に、全体のデータの 68.3% が入る
　　期待値（平均値）±2σ　の範囲に、全体のデータの 95.4% が入る
　　期待値（平均値）±3σ　の範囲に、全体のデータの 99.7% が入る
あるいは「有意水準=危険率（←→信頼度）」を基準にして
　　期待値（平均値）± 1.65σ　の範囲内に、全体のデータの 90.0% が入る
　　期待値（平均値）± 1.96σ　の範囲内に、全体のデータの 95.0% が入る
　　期待値（平均値）± 2.57σ　の範囲内に、全体のデータの 99.0% が入る
ということです。

（１）不良品が50個以上ということは、期待値=40 ですから
　　(50 - 40)/σ = 10/6 ≒ 1.67
　つまり、
　　期待値（平均値）+ 1.67σ　
ということです。これはつまり、上に書いた ± 1.65σ とほぼ等しいので
　　40 ± 1.67σ
範囲に全体の約 90% が入るということです。ということは、これを外れた範囲には
　　40 + 1.67σ = 50個　以上の範囲に 5%
　　40 - 1.67σ = 30個　以下の範囲に 5%
の合計10％が存在します。

　従って、50個以上不良品が含まれる確率は「約 5%」です。

（２）これも、（１）に書いたのと同じですね。
　c = 10個
です。
　標準偏差 6 に対して 1.65σ = 9.9 ≒ 10 ということです。

この回答へのお礼

二項分布まではたどり着けていたのですが、正規分布と近似に思い至りませんでした。
とてもわかりやすい解説ありがとうございましたm(_ _)m

お礼日時：2016/12/07 16:19