逆ラプラス変換

1/(s^2+10ｓ+21)
という問題が出題されて自分が導き出した答えが　e^-(3t)-e^-(7t)　となったのですが回答を見ると
1/4*(e^-(3t)-e^-(7t))　となっていました、この1/4とはどこから来たのでしょうか？
この問題の解き方を教えてください、どうぞよろしくお願いします。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/01/02 12:59

基本を学びましょう。

極が３と７だからe^(-3t)-e^(-7t) には
なりません。Ae^(-3t)+Be^(-7t) という形になります。
これは基本中の基本です。係数は別途求める必要があります。

部分分数展開 1/{(s+3)(s+7)} = (1/4){1/(s+3) - 1/(s+7)} から
1/(s+a) → e^(-at) の逆変換公式に当てはめるのも
定石ですが、

知っておくと便利なやりかたをもう一つ。

複素関数論を学べば、ラプラス逆変換は、
ポールを s1, s2・・・sn とすると

f(t)=Σ[i=1～n]Res[e^(st)F(s), si]
留数: Res(Z(s), si)=lim[s→si]d^(n-1)/ds^(n-1){(s-si)^n・Z}
＃d^(n-1)/ds^(n-1)　は s で(n-1)回微分を表す
#n はポールの次数

というように単純にラプラス逆変換は e^(st)F(s) の
留数の和であることが分かります。
このレベルから見下ろすと、簡単に係数を求められます。

F(s)=1/{(s+3)(s+7)} とすると

ポール=-3の留数は
Res(e^(st)F(s), -3) = lim[s→-３]e^(st)・(s+3)・1/{(s+3)(s+7)}
=lim[s→-３]e^(st)・1/(s+7)=(1/4)e^(-3t)

同様に ポール -7 の留数は
Res(e^(st)F(s), -7) = lim[s→-7]e^(st)・(s+7)・1/{(s+3)(s+7)}
=lim[s→-7]e^(st)・1/(s+3)=-(1/4)e^(-7t)

以上から f(t)=(1/4)e^(-3t) -(1/4)e^(-7t)

以上から手順だけを抜き出すと

F(s)=1/{(s+3)(s+7)}　の s=-3 の留数は
分母から (s+3) を取り除いて e^(st)を掛け、s=-3 を代入するだけ
s=-7 の留数は分母から (s+7) を取り除いて e^(st)を掛け、
s=-7 を代入するだけ
#ポールの次数が2次以上だと手順が少し違ってきます。

この手順を頭に入れておけば、多くの逆ラプラス変換が公式を
覚えることなしに一瞬でとけますし、どんな格好になるか
見当が付きます。頭に入れておくと楽できます。

No.1 回答者： nao4230 回答日時： 2016/12/30 15:18

部分分数にします。

1/(s^2+10ｓ+21）=(1/4)*(1/(s+3)-1/(s+7))