二次関数について質問です

二次関数 y=-2分の1xの二乗+2x+1

この二次関数のt≦x≦t+3の最大値と最小値の
差が二分の21となるようなtの値を求めよ

この二次関数のt≦x≦t+3の最大値と最小値の
差が最も小さくなるようなtの値

この2つの問題のやり方をわかる方、
回答お願いします

No.2 ベストアンサー 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/01/13 23:51

答えは既に出して貰っているようですが、自分なりのやり方を。

数学の解法は複数ある場合が多いので、自分が理解し易いやり方でどうぞ。

y=（-1/2）x^2+2x+1　のグラフを書くのは同様です。
＝-(1/2)(x-2)^2+3　の形に直すのでも、解の公式でｘ＝2±√6からｘ＝2を代入してy=3するのでもかまいません。
x^2の係数がマイナスであるので上に凸の形。（2,3）を頂点とする。　ということが分かりました。

頂点付近に視点を固定して、t≦x≦t+3　について考えます。
tという名前の○（石でもビー玉でも何でもいいです）とｔ+3という名前の○が紐で繋がれているのを想像してください。
tが大きくなるというのは、t+3を持ってグラフの山を左から右へ移動させるようなものです。
tが小さい時はxの範囲が遥か左下です。
tが大きくなるにつれ段々t+3が近付いてきます。
t+3が頂点を越え、やがてtも頂点を越えます。
あとは段々tが遠ざかってゆくだけです。

最大値についても考えましょう。
ｔ+3が近付いてきている時、最大値（最も高い所）はｔ+3の位置です。
ｔ+3が頂点を越えてからｔが頂点に行くまでの間は、常に頂点の位置が最も高くなります。
tが頂点を越えてからは、tが最も高い所に居ます。

最小値も同様です。
ｔ+3が近付いている間はｔが一番下に居ます。
ｔ+3が頂上を越えてからはｔが段々高くなり、ｔ+3は段々低くなります。
ｔとｔ+3の丁度真ん中が頂上にある時、ｔとｔ+3の高さは同じになります。
そこからはｔの方が高くなり、頂上を越えてからも高いままです。

この時、最大値と最小値の差ですが、
t+3が頂上にくるまでと、ｔが頂上を越えてから。これは単純にｔとｔ+3の高低差ということです。
tの居る地点の高さはy=（-1/2）t^2+2t+1として表すことができ、
ｔ+3の居る地点の高さはy=（-1/2）(t+3)^2+2(t+3)+1となります。
この差がいくらかというと
（（-1/2）t^2+2t+1）-（（-1/2）(t+3)^2+2(t+3)+1）＝（-1/2t^2+2t+1）-（-1/2（t^2+6t+9）+2t+6+1）
＝3ｔ-3/2　の絶対値となります。
3t-3/2=21/2　が成立するtを求めると
3t＝12→ｔ＝4となります。
3/2-3t=21/2　で求めると
-6t=18→ｔ＝-3となります。

では、ｔ+3が頂上を越えてから、ｔが頂上に着くまではどうでしょう？
最も高いのは常に頂上です。
最も低いのは、ｔとｔ+3のどちらか低い方です。
が、先ほど2つの解が出ているので、この間については考える必要はありません。
なぜなら、二次曲線の傾きは、頂点から離れるほど急に、頂点に近いほど緩やかになっているからです。
傾きが緩やかになるということは、高低差が小さくなるということです。
よって同じ高低差になることはありえません。

では、最大値と最小値の差が最も小さくなるのはいつでしょう？
ｔの増加で考えると、ｔ+3が頂上に近付くにつれ高低差は小さくなり、ある点を境にtが遠ざかるにつれまた高低差が大きくなっていきます。
そう、ｔとt+3の中点が頂点となった時がある点なのです。
つまりｔ+3/2＝2なので、ｔ＝1/2となります。

どのような形でもいいので、問題の意味を自分なりにイメージできることが大切だと思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます

なかなか難しい問題ですね
頑張ってみます

お礼日時：2017/01/23 11:16

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2017/01/13 18:00

質問するなら、どこまでできて、どこが分からないのかをきちんと書いてください。

それによって書き方が変わります。

与えられている関数は、平方完成すると

y = -(1/2)x² + 2x + 1
　= -(1/2)(x² - 4x) + 1
　= -(1/2)(x - 2)² + 3

です。これから頂点が (2, 3) で上に凸の（下に開いた）放物線ということが分かります。
→まず、これが分からなけれな問題外です。復習あるのみ。

このグラフを書いてみれば、次のことが分かります。
面倒くさがらずに、きちんとグラフを書きましょう。

（１）t≦2≦t+3 なら、x=2 で最大値。
　中間点 t+3/2 ≦ 2 なら x=t で最小値。
　中間点 t+3/2 > 2 なら x=t+3 で最小値。

（２）t+3<2 なら、
　x=t+3 で最大値。
　x=t で最小値。

（３）2<t なら、
　x=t で最大値。
　x=t+3 で最小値。

あとは、この場合分けで、実際にやってみればよい。
結構体力が必要ですので、計算違いがあるかも。「考え方」は合っているはず。

Ⅰ.最大値と最小値の差が 21/2 となる場合

（１）t≦2≦t+3 のとき、つまり -1≦t≦2 のとき
　　最大値 3

(1a) t+3/2 ≦ 2 つまり -1≦t≦1/2 なら　x=t で最小値 -(1/2)t² + 2t + 1
差が 21/2 となるのは
　3 - [ -(1/2)t² + 2t + 1 ] = (1/2)t² - 2t + 2 = 21/2
より
　t² - 4t - 17 = 0
これを解けば
　t = [ 4 ± √(16 + 68) ]/2 = [4 ± √84]/2 = 2 ± √21
なので -1≦t≦0.5 の範囲には差が 21/2 となるものはない。

(1b) t+3/2 > 2 つまり 1/2<t≦2 なら　x=t+3 で最小値
　 -(1/2)(t + 3)² + 2(t + 3) + 1
　= -(1/2)t² - 3t - 9/2 + 2t + 6 + 1
　= -(1/2)t² - t + 5/2
差が 21/2 となるのは
　3 - [ -(1/2)t² - t + 5/2 ] = (1/2)t² + t + 1/2 = 21/2
より
　t² + 2t - 20 = 0
これを解けば
　t = [ -2 ± √(4 + 80) ]/2 = [-2 ± √84]/2 = -1 ± √21
なので -1≦t≦0.5 の範囲には差が 21/2 となるものはない。

（２）t+3<2 つまり t<-1 なら、
　x=t+3 で最大値 -(1/2)t² - t + 5/2。
　x=t で最小値 -(1/2)t² + 2t + 1。
差が 21/2 となるのは
　[-(1/2)t² - t + 5/2] - [-(1/2)t² + 2t + 1]
= -3t + 3/2 = 21/2
より
　3t = -9
　t = -3
これは t<-1 の条件を満たす。

（３）2<t なら、
　x=t で最大値 -(1/2)t² + 2t + 1。
　x=t+3 で最小値 -(1/2)t² - t + 5/2。
差が 21/2 となるのは
　[-(1/2)t² + 2t + 1] - [-(1/2)t² - t + 5/2]
= 3t - 3/2 = 21/2
より
　3t = 12
　t = 4
これは 2<t の条件を満たす。

以上より、最大値と最小値の差が 21/2 となるのは
　t=-3 または 4
のときである。


Ⅱ. 同様のことを「最大値と最小値の差が最も小さくなる」という条件で行えば、

（１）t≦2≦t+3 のとき、つまり -1≦t≦2 のとき
　　最大値 3

(1a) t+3/2 ≦ 2 つまり -1≦t≦1/2 なら　x=t で最小値 -(1/2)t² + 2t + 1
最大値と最小値の差は
　z = 3 - [ -(1/2)t² + 2t + 1 ] = (1/2)t² - 2t + 2
　　= (1/2)(t - 2)²
なので、 -1≦t≦1/2 の範囲でこれが最小になるのは t=1/2 のときで
　z = 9/8　　　　　①

(1b) t+3/2 > 2 つまり 1/2<t≦2 なら　x=t+3 で最小値 -(1/2)t² - t + 5/2
最大値と最小値の差は
　z = 3 - [ -(1/2)t² - t + 5/2 ] = (1/2)t² + t + 1/2
　　= (1/2)(t + 1)²
なので、 1/2<t≦2 の範囲でこれが最小になるのは t=1/2+ε のときで
　z = 9/8 + ε'
（+ε をつけたのは、統合を含まないため。以下同じ）
従って、この範囲では①よりも小さくなることはない。

（２）t+3<2 つまり t<-1 なら、
　x=t+3 で最大値 -(1/2)t² - t + 5/2。
　x=t で最小値 -(1/2)t² + 2t + 1。
最大値と最小値の差は
　[ -(1/2)t² - t + 5/2] - [-(1/2)t² + 2t + 1]
= -3t + 3/2
t<-1 の範囲ででこれが最小になるのは t=-1-ε のときで
　z = 9/2 + ε'
従って、この範囲では①よりも小さくなることはない。

（３）2<t なら、
　x=t で最大値 -(1/2)t² + 2t + 1。
　x=t+3 で最小値 -(1/2)t² - t + 5/2。
最大値と最小値の差は
　[-(1/2)t² + 2t + 1] - [ -(1/2)t² - t + 5/2]
= 3t - 3/2
2<t の範囲ででこれが最小になるのは t=2+ε のときで
　z = 9/2 + ε'
従って、この範囲では①よりも小さくなることはない。

以上より、最大値と最小値の差が最も小さくなるのは
　t=1/2
のときである。このときの最大値と最小値の差は 9/8 。

この回答へのお礼

長々とありがとうございます

よくわかりました

お礼日時：2017/01/23 11:17