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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
答えは既に出して貰っているようですが、自分なりのやり方を。
数学の解法は複数ある場合が多いので、自分が理解し易いやり方でどうぞ。
y=(-1/2)x^2+2x+1 のグラフを書くのは同様です。
=-(1/2)(x-2)^2+3 の形に直すのでも、解の公式でx=2±√6からx=2を代入してy=3するのでもかまいません。
x^2の係数がマイナスであるので上に凸の形。(2,3)を頂点とする。 ということが分かりました。
頂点付近に視点を固定して、t≦x≦t+3 について考えます。
tという名前の○(石でもビー玉でも何でもいいです)とt+3という名前の○が紐で繋がれているのを想像してください。
tが大きくなるというのは、t+3を持ってグラフの山を左から右へ移動させるようなものです。
tが小さい時はxの範囲が遥か左下です。
tが大きくなるにつれ段々t+3が近付いてきます。
t+3が頂点を越え、やがてtも頂点を越えます。
あとは段々tが遠ざかってゆくだけです。
最大値についても考えましょう。
t+3が近付いてきている時、最大値(最も高い所)はt+3の位置です。
t+3が頂点を越えてからtが頂点に行くまでの間は、常に頂点の位置が最も高くなります。
tが頂点を越えてからは、tが最も高い所に居ます。
最小値も同様です。
t+3が近付いている間はtが一番下に居ます。
t+3が頂上を越えてからはtが段々高くなり、t+3は段々低くなります。
tとt+3の丁度真ん中が頂上にある時、tとt+3の高さは同じになります。
そこからはtの方が高くなり、頂上を越えてからも高いままです。
この時、最大値と最小値の差ですが、
t+3が頂上にくるまでと、tが頂上を越えてから。これは単純にtとt+3の高低差ということです。
tの居る地点の高さはy=(-1/2)t^2+2t+1として表すことができ、
t+3の居る地点の高さはy=(-1/2)(t+3)^2+2(t+3)+1となります。
この差がいくらかというと
((-1/2)t^2+2t+1)-((-1/2)(t+3)^2+2(t+3)+1)=(-1/2t^2+2t+1)-(-1/2(t^2+6t+9)+2t+6+1)
=3t-3/2 の絶対値となります。
3t-3/2=21/2 が成立するtを求めると
3t=12→t=4となります。
3/2-3t=21/2 で求めると
-6t=18→t=-3となります。
では、t+3が頂上を越えてから、tが頂上に着くまではどうでしょう?
最も高いのは常に頂上です。
最も低いのは、tとt+3のどちらか低い方です。
が、先ほど2つの解が出ているので、この間については考える必要はありません。
なぜなら、二次曲線の傾きは、頂点から離れるほど急に、頂点に近いほど緩やかになっているからです。
傾きが緩やかになるということは、高低差が小さくなるということです。
よって同じ高低差になることはありえません。
では、最大値と最小値の差が最も小さくなるのはいつでしょう?
tの増加で考えると、t+3が頂上に近付くにつれ高低差は小さくなり、ある点を境にtが遠ざかるにつれまた高低差が大きくなっていきます。
そう、tとt+3の中点が頂点となった時がある点なのです。
つまりt+3/2=2なので、t=1/2となります。
どのような形でもいいので、問題の意味を自分なりにイメージできることが大切だと思います。
No.1
- 回答日時:
質問するなら、どこまでできて、どこが分からないのかをきちんと書いてください。
それによって書き方が変わります。
与えられている関数は、平方完成すると
y = -(1/2)x² + 2x + 1
= -(1/2)(x² - 4x) + 1
= -(1/2)(x - 2)² + 3
です。これから頂点が (2, 3) で上に凸の(下に開いた)放物線ということが分かります。
→まず、これが分からなけれな問題外です。復習あるのみ。
このグラフを書いてみれば、次のことが分かります。
面倒くさがらずに、きちんとグラフを書きましょう。
(1)t≦2≦t+3 なら、x=2 で最大値。
中間点 t+3/2 ≦ 2 なら x=t で最小値。
中間点 t+3/2 > 2 なら x=t+3 で最小値。
(2)t+3<2 なら、
x=t+3 で最大値。
x=t で最小値。
(3)2<t なら、
x=t で最大値。
x=t+3 で最小値。
あとは、この場合分けで、実際にやってみればよい。
結構体力が必要ですので、計算違いがあるかも。「考え方」は合っているはず。
Ⅰ.最大値と最小値の差が 21/2 となる場合
(1)t≦2≦t+3 のとき、つまり -1≦t≦2 のとき
最大値 3
(1a) t+3/2 ≦ 2 つまり -1≦t≦1/2 なら x=t で最小値 -(1/2)t² + 2t + 1
差が 21/2 となるのは
3 - [ -(1/2)t² + 2t + 1 ] = (1/2)t² - 2t + 2 = 21/2
より
t² - 4t - 17 = 0
これを解けば
t = [ 4 ± √(16 + 68) ]/2 = [4 ± √84]/2 = 2 ± √21
なので -1≦t≦0.5 の範囲には差が 21/2 となるものはない。
(1b) t+3/2 > 2 つまり 1/2<t≦2 なら x=t+3 で最小値
-(1/2)(t + 3)² + 2(t + 3) + 1
= -(1/2)t² - 3t - 9/2 + 2t + 6 + 1
= -(1/2)t² - t + 5/2
差が 21/2 となるのは
3 - [ -(1/2)t² - t + 5/2 ] = (1/2)t² + t + 1/2 = 21/2
より
t² + 2t - 20 = 0
これを解けば
t = [ -2 ± √(4 + 80) ]/2 = [-2 ± √84]/2 = -1 ± √21
なので -1≦t≦0.5 の範囲には差が 21/2 となるものはない。
(2)t+3<2 つまり t<-1 なら、
x=t+3 で最大値 -(1/2)t² - t + 5/2。
x=t で最小値 -(1/2)t² + 2t + 1。
差が 21/2 となるのは
[-(1/2)t² - t + 5/2] - [-(1/2)t² + 2t + 1]
= -3t + 3/2 = 21/2
より
3t = -9
t = -3
これは t<-1 の条件を満たす。
(3)2<t なら、
x=t で最大値 -(1/2)t² + 2t + 1。
x=t+3 で最小値 -(1/2)t² - t + 5/2。
差が 21/2 となるのは
[-(1/2)t² + 2t + 1] - [-(1/2)t² - t + 5/2]
= 3t - 3/2 = 21/2
より
3t = 12
t = 4
これは 2<t の条件を満たす。
以上より、最大値と最小値の差が 21/2 となるのは
t=-3 または 4
のときである。
Ⅱ. 同様のことを「最大値と最小値の差が最も小さくなる」という条件で行えば、
(1)t≦2≦t+3 のとき、つまり -1≦t≦2 のとき
最大値 3
(1a) t+3/2 ≦ 2 つまり -1≦t≦1/2 なら x=t で最小値 -(1/2)t² + 2t + 1
最大値と最小値の差は
z = 3 - [ -(1/2)t² + 2t + 1 ] = (1/2)t² - 2t + 2
= (1/2)(t - 2)²
なので、 -1≦t≦1/2 の範囲でこれが最小になるのは t=1/2 のときで
z = 9/8 ①
(1b) t+3/2 > 2 つまり 1/2<t≦2 なら x=t+3 で最小値 -(1/2)t² - t + 5/2
最大値と最小値の差は
z = 3 - [ -(1/2)t² - t + 5/2 ] = (1/2)t² + t + 1/2
= (1/2)(t + 1)²
なので、 1/2<t≦2 の範囲でこれが最小になるのは t=1/2+ε のときで
z = 9/8 + ε'
(+ε をつけたのは、統合を含まないため。以下同じ)
従って、この範囲では①よりも小さくなることはない。
(2)t+3<2 つまり t<-1 なら、
x=t+3 で最大値 -(1/2)t² - t + 5/2。
x=t で最小値 -(1/2)t² + 2t + 1。
最大値と最小値の差は
[ -(1/2)t² - t + 5/2] - [-(1/2)t² + 2t + 1]
= -3t + 3/2
t<-1 の範囲ででこれが最小になるのは t=-1-ε のときで
z = 9/2 + ε'
従って、この範囲では①よりも小さくなることはない。
(3)2<t なら、
x=t で最大値 -(1/2)t² + 2t + 1。
x=t+3 で最小値 -(1/2)t² - t + 5/2。
最大値と最小値の差は
[-(1/2)t² + 2t + 1] - [ -(1/2)t² - t + 5/2]
= 3t - 3/2
2<t の範囲ででこれが最小になるのは t=2+ε のときで
z = 9/2 + ε'
従って、この範囲では①よりも小さくなることはない。
以上より、最大値と最小値の差が最も小さくなるのは
t=1/2
のときである。このときの最大値と最小値の差は 9/8 。
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