数学の確率に自信のある方！教えてください

A、B、C、Dの４人でジャンケンをします。
①４人でジャンケンをし、勝った人から順番に抜ける時、A君が２位になる確率
（複数人が同時に抜けた場合は、抜けた人同士でジャンケンを繰り返し、順位を決めていきます）

②A君以外の３人がジャンケンをし、順位を決めます。最下位の人とAくんがジャンケンをし、A君が負けた場合はA君がその人の下の順位（つまり最下位）、勝った場合は次の順位の人とジャンケンをし、Aくんの順位を決めます。このときA君が２位となる確率
（つまり、３位、２位の人とジャンケンに勝ち、１位の人に負ける確率）


①、②ってどれぐらい確率が違うのでしょうか？同じですか？

質問者からの補足コメント

• 

  ②は勝ち→勝ち→負けのパターンだから　
  1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8 ???

    補足日時：2017/01/22 01:17

• 

  皆様ご回答ありがとうございます。
  
  ①は勝敗云々に限らず、1〜4位のいずれかになり、それぞれの確率は等しいから25%ということなのですね？
  
  さて、新たに疑問が出てきましたのでお付き合いいただければと思います
  
  ②についてはAくんが遅れて勝負に参加した場合を想定した質問でした。
  A君の順位が①と同じ確率かつお互いに不満が残らないようにするためには、どのような勝負をすればよいでしょうか？
  
  4人で再試合

    補足日時：2017/01/22 13:24

No.5 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/01/22 14:32

A君以外についても補足しておきますね。

A君以外の3人でジャンケンをした時の順位はそれぞれ1/3の確率なのは分かりますね？
1/3の確率で1位になった後でA君とじゃんけんをする確率は1/2です。
じゃんけんで勝つ確率は1/2です。
じゃんけんせずにそのまま1位である確率は1/3×1/2=1/6です。
じゃんけんをして勝って1位のままの確率は1/3×1/2×1/2=1/12です。
1位になる確率は1/6+1/12=3/12＝1/4です。
1位になる確率は4人の時と変わっていませんね。

3人でじゃんけんをして3位だった場合はこれの逆を考えます。
1/3の確率で3位になり、A君とじゃんけんをする確率は1/2なので、
じゃんけんをせずに最下位のまま（3人中の3位→4人中の4位）になる確率は、
1/3×1/2＝1/6です。
じゃんけんをして負けて4位になる確率は1/3×1/2×1/2＝1/12です。
4位になる確率は1/6+1/12＝1/4です。
4位になる確率も4人の時と変わっていませんね。

3人でじゃんけんをして2位だった場合も考えます。
A君とは確実にじゃんけんをします。
1/2の確率で勝って2位になるので、
最初2位でそのまま2位の確率は1/3×1/2＝1/6です。
1/2の確率で負けて3位になるので、
最初2位でじゃんけんで3位になる確率は1/3×1/2＝1/6です。

そして、最初1位でA君に負けて2位になる確率は
1/3×1/2×1/2＝1/12なので、
最終的に2位になる確率は1/6+1/12＝3/12＝1/4です。
これも4人の時と同じですね。

3位の場合も同様にして、
最初3位でA君に勝って3位の確率が
1/3×1/2×1/2＝1/12なので、
最初2位でA君に負ける確率と合わせて
1/12+1/6＝1/4となります。
最終的に3位になる確率も4人の時と同じですね。

なので、この方法であればA君も他の３人も全ての順位になる確率が1/4となっています。

No.4 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/01/22 14:15

A君以外がじゃんけんをして、B君（1位）C君（2位）D君（3位）だったとします。

A君は遅れてきたのでC君とじゃんけんをします。

C君に勝てば（確率1/2）B君とじゃんけんをします。
B君にも勝てば1位です（1/2×1/2＝1/4）
B君に負ければ2位です（1/2×1/2＝1/4）

C君に負ければ（確率1/2）D君とじゃんけんをします。
D君に勝てば3位です（1/2×1/2＝1/4）
D君にも負ければ4位です（1/2×1/2＝1/4）

No.3 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/01/22 10:53

補足コメントについて

そのとおりです。
2位になるパターンが勝ち→勝ち→負けしかないので、
質問者の計算式の通りとなり1/8になります。

No.2 回答者： housyasei-usagi 回答日時： 2017/01/22 01:53

①は単純に４人だから２５％。

初めに順位とか制約がある訳ではない。参加人数だけの問題。

②はA君の立場が悪い。
２位になるには２連勝。1位になるには３連勝が必要。

１回目
4位確定（負け）　50%・・・勝負終わり
最低3位確定　50%（勝ち）
　　　　　　↓
２回目
3位確定　25%　(負けち）・・・勝負終わり
最低2位確定　25%　(勝ち）

３回目　　　　　　↓
2位　12.5%（負け）
1位　12.5%（勝ち）

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/01/22 01:50

1 の条件はわかりにくいんだけど

・残っている全員が一斉にじゃんけんをし「あいこ」の場合は無視
・全員とも出す手は完全にランダムに決める
ということかな? もしそうなら 1 の確率はほぼ自明に 1/4. 一方 2 の確率はその通りで 1/8 だね.