絶対値の関数同士の共有点を求めるとき中身だけを等号で結べるのはどうしてですか？ また絶対値のついた不

絶対値の関数同士の共有点を求めるとき中身だけを等号で結べるのはどうしてですか？
また絶対値のついた不等号を解くとき二乗して解いた答えと等しいのは何故ですか？

No.3 ベストアンサー 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/02/20 19:13

|x|<|2x−4|の例でやるとして、2乗で解くと

x^2<4x^2-16x+16
0<3x^2-16x+16=(x-4)(3x-4)
0<x-4かつ0<3x-4
もしくは
0>x-4かつ0>3x-4
なので
x<4/3,4<x
となります。


|x|<|2x−4|を2乗を使わずにやると
0<2|x−2|-|x|

x-2>0の時
|x-2|=x-2
x>2
|x|=x
0<2(x-2)-x=x-4
4<x
2<xかつ4<xなので4<x

x-2<0の時
|x-2|=2-x
x<2
0≦xなら
|x|=x
0<2(2-x)-x=4-3x
x<4/3かつ0≦x<2なので0≦x<4/3
0>xなら
|x|=-x
0<2(2-x)+x=4-x
x<4かつx<0なのでx<0

よってx<0,0≦x<4/3,4<x
つまりx<4/3,4<x
となります。


まぁ当然同じ結果ですね。
何故同じになるのかは、グラフで考えた方が分かりやすいかもしれません。
等式の場合、左辺のグラフと右辺のグラフが交差する点のx座標がxの解ですね。
不等式の場合、左辺のグラフと右辺のグラフが交差する点を境として、グラフの位置関係が変化しますね。
ただ、2乗してもグラフが縦方向に変形するだけで、交点のx座標が変わることはありませんね？
なのでxの値もしくは範囲が変化することはありません。

この回答へのお礼

なるほど！
納得できました！丁寧にありがとうございました！

お礼日時：2017/02/20 20:03

No.2 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/02/20 02:48

前半は、2乗する事で正の値になる為、絶対値と限定する必要がなくなるからでしょう。

│X│=│Y│の時、X=±Yですが、
X^2=Y^2　を表現するのに絶対値の記号は不要です。
もちろん付けてもいいですが、2乗を理由に外されるだけです。
絶対値とは、言い換えれば、マイナスの時にマイナスを外す記号です。
マイナスでないと分かっているなら付ける意味がありません。


│X│<│Y│の時、
2乗するとX^2<Y^2です。
どんな値を2乗しても、それより絶対値の大きな値を2乗したものより大きくなることはありません。
Y=x+iとして、iはxと±が同じとする。
(x+i)^2=x^2+2xi+i^2
3つの項が全て正になるので、確実にx^2よりも大きいですね。
つまり、絶対値同士の不等号と、それらの2乗同士の不等号の向きは変わらない。という事は確定しているので、
2乗によって不等式を示し、移項等の計算でxの範囲を求められます。


答えになっているでしょうか？

この回答へのお礼

絶対値の性質については理解できました。
ただ絶対値の二乗で求めたxの値や範囲は二乗する前のxの値と等しいのはどうしてですか？
お願いします。

お礼日時：2017/02/20 14:01

No.1 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/02/19 23:34

？

f(x)=│x│
g(x)=│x^2│
の共有点は(-1,1),(0 0),(1,1)ですが、
x=x^2とすると(-1,1)が該当しなくなりますよ？

│x│≦2　を解く時
x^2≦4　と出来る理由みたいな感じですか？
不等号の向きが変わるのはマイナスをかけた時です。
絶対値なので必ずマイナスにはならないからです。

聞きたいことと違う場合、例題を示してみてください。

この回答へのお礼

すいませんちょっと質問内容が違いました。
|x^2−4x+3|=|2x−3|を解くときに
場合わけなしで両辺二乗したらよいとあるのですが何故そんなことができるのでしょうか？
不等号の場合も
|x|<|2x−4|を二乗して求めるらしいのですが
二乗して求めた解は条件を満たしているのでしょうか？
お願いします

お礼日時：2017/02/20 00:20