なぜそう定義されたのかを考える必要性

数学において、定義がたくさん出てきますが僕はよく「なぜ昔の数学者はこのように定義したのだろうか」とかんがえてしまうのですが、これを考える意味はあるのでしょうか？

それとも、そのように定義された意味を考えずに無批判で受け入れた方が良いのでしょうか？

例えば、高校数学でいうと三角関数において
sinθ、cosθ、tanθはそれぞれ単位円のy座標、x座標、OPの傾き、と定義されていることなどです。

春から機械科の大学生となり、線形代数や物理を軽く勉強しているのですが、今のうちにこの疑問についてどうするかという指針を決めておきたいと思い質問させていただきました。

御回答よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• ほうほう、そういったものなのですね！
  ありがとうございます！

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/03/12 18:57

No.1 回答者： fxq11011 回答日時： 2017/03/12 18:55

必要性！、と言われると、あまり必要とは思えません。

全く考えずとも、何ら支障は出ません。
無批判で・・・・、平行線は交わらない（現在の一般的な数学）、平行線は交わる、という数学もあると聞いたことがあります。
ユークリッド数学、非ユークリッド数学というものがあるらしい、・・・・・数学、なんてもの、体系を作るつもりなら考える必要もあるかも・・。
ただ、定義、自体はそんなに大げさのものではありません、ただの気まぐれで決めても一向に差し支えのないものです、でもいったん決めれば、すべての人がそれに従います。
別に従う！という必要はありませんが、ある言葉に対して、すべての人が共通の認識を持つ、これが定義です。

No.2 回答者： usa3usa 回答日時： 2017/03/12 22:25

＞これを考える意味はあるのでしょうか？

数学を単なる道具とするならば、考える意味はありません。

でも、数学を生み出した先人の思いに心を踊らせるのであれば、考える意味は十分あると思います。
各種「定義」は、先人の知恵の集大成ですから。
自分で先人と同じ定義が生み出せたら、なんとなく楽しくないですか？

ただ大学では、覚えなければいけない定義が半端じゃないので、
定義された意味をすべて考えて、納得する時間がないことは覚悟された方がよいでしょう。その時わからなくても、学年が進むと、なるほど！とわかることも結構ありますので、
　とりあえず、無批判で受け入れる
ということも必要になると思います。

この回答へのお礼

>自分で先人と同じ定義が生み出せたら、なんとなく楽しくないですか？
そうなんですね❗️笑 僕はいつもなんでこう定義したのだろうと気になっていたので、回答者さんと似たような心境ですね笑

>ただ大学では、覚えなければいけない定義が半端じゃないので

やはり大学の数学だと、たくさんの定義が出てくるのですね

御回答ありがとうございました！

お礼日時：2017/03/12 22:31

No.3 ベストアンサー 回答者： junjun2357 回答日時： 2017/03/13 06:58

数学科の学生です。

『なぜこのように定義するのか』
その答えは明白で、『そのように定義すると全てうまく行くから』です。
数学史を学ぼうとすると、先人の失敗ばかりがごちゃごちゃに転がっているので、定義にいたるすべての過程を知るのは不可能に近いことです。

これは私の意見ですが、ある良い性質が成り立つために仮定すべき最小限の条件が何かを突き詰めて考えた結果の積み重なりが、今我々が目にしている美しい数学体系であり、定義だと思っています。

この回答へのお礼

>数学科の学生です。

おー❗️心強いです❗️

>そのように定義すると全てうまく行くから』です。数学史を学ぼうとすると、先人の失敗ばかりがごちゃごちゃに転がっているので、定義にいたるすべての過程を知るのは不可能に近いことです。

そうなんですね！そのように定義するとうまくいくという理由があったんですね。
ならば、あまり定義された意味を追っていくのは学生の身分としては良くないかもしれないですね。

回答者さんの意見も参考にさせていただきます！

お礼日時：2017/03/13 12:23

No.4 回答者： fxq11011 回答日時： 2017/03/14 16:57

ひょっとして、定義と定理。

たぶん蛇足とは思いますが、この二つ、あまりに漠然と考えているとそんな思いも・・？。
国語の問題として、一度辞書をひいてみるのも・・・・・。