分母に√の分数が含まれてる部分はどうやって有利化すればいいのでしょうか?

「分母に分数が含まれてる√の有利化」の質問画像

A 回答 (3件)

繁分数を普通の分数(真分数か仮分数)に変えれば良いだけです。


一般的には、(a/b)/(c/d)=(ad)/(bc) です。
(a/b)/(c/d) は (a/b)÷(c/d)=(a/b)×(d/c) としても理解できますよね。

質問中の、10 /(1/√2)=(10/1)/(1/√2)=10√2 となります。
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10/(1/√2) の分子・分母に√2をかけ算します(^^)


すると、10√2/(√2 × 1/√2)=10√2 となります。

または、10/(1/√2) = 10÷1/√2 = 10×√2 = 10√2
です(^^)
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10/(1/√2)の分子分母に√2をかけると10√2/(√2/√2)=10√2になります。



分数の割り算は上下ひっくり返して掛け算にしますよね。
あれと同じで10×(√2/1)と考えても同じ結果になります。
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Q平方根の分母の有利化 1 / 3-√2

唐突に失礼します。

1 / 3-√2って問題があって、その答えが3+√2 / 7になるんですけどさっぱり訳わかりません。
どなたか詳しく回答していただけると嬉しいです。

Aベストアンサー

分母が3-√2だから、分母・分子に3+√2をかけるニャ。
分子は1だから、3+√2。
分母は(3-√2)(3+√2)、これ有名な(x+y)(x-y)=x2-y2式ニャ。
で、(3-√2)(3+√2)=3*3-(√2)2=9-2=7ニャ。

で、答えはめでたく(3+√2)/ 7になるニャ。

Q分母のexp.の肩に√iが含まれる形式の虚数部分を求めたい

論文の中に出てくる式変形の方法が分からずに困っています。

分母のexp()の()の中に√iが含まれる場合、その式の虚数部分を求めるにはどうすれば良いのでしょうか?どうやら変形すると双曲線関数と三角関数のとても綺麗な形で表せるようなのですが。

具体的には以下の形です。

Zg={exp(L(rc2πfi)^1/2)+1}(r/c2πfi)^1/2/{exp(L(rc2πfi)^1/2-1}

求めたいのはインピーダンスZgのキャパシタンスCで

C=-2/Im(2πf×Zg)
={(sinhθ)^2+(sinθ)^2}L(c/rπf)^1/2/{(coshθ+cosθ)(sinhθ+sinθ}

θ=L(πfrc)^1/2

です。C=が-2なのは諸事情あってなのでこれで合ってます。

詳しい方いらっしゃったら教えて頂きたく。またこのような問題の公式集などありましたら是非とも教えて頂けないでしょうか?よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

要は√iが得られればあとは簡単な式変形になります。

√iは次のように考えればよい。
i=exp(πi/2)
ですから
√i=i^(1/2)={exp(πi/2)}^(1/2)=exp{(πi/2)*(1/2)}=exp(πi/4)=(1+i)/√2

ここから先は簡単です。√2は(rc2πf)^(1/2)から出てくる√2と約分されて消えます。
頑張ってください。

Qx=√2+√3+√5+√7の整数部分aは?

x=√2の整数部分aは?

1<2<4より1<√2<2
よって、a=1

x=√2+√3の整数部分aは?

x^2=5+2√6
2<√6<3より
9<x^2=5+2√6<11<16
3<x<4
よって、a=3

x=√2+√3+√5の整数部分aは?

14<10√2<15、17<10√3<18、22<10√5<23より
53<10√2+10√3+10√5<56
5.3<x=√2+√3+√5<5.6
よって、a=5

x=√2+√3+√5+√7の整数部分aは?

原理的には直前と同じようなやり方で解けると思います。
つまり、それぞれの項を小数第一位まで求めるという方法です。

しかし、x=√2+√3+√5+√7+√11の整数部分を求めるなど、これをどんどん続けていくと、それぞれの項を小数第二位まで求める必要が出てくると思います。

どんどん続けていくと、その都度、それぞれの項を精密に考え直さなくていけなくて、しかも、小数第何位まで精密に考えなくてはいけないのかなど、自明ではないので、そんないいやり方ではないと思っています。

もっと、いい求め方がありましたら、概略だけでも教えていただきたく思います。

x=√2の整数部分aは?

1<2<4より1<√2<2
よって、a=1

x=√2+√3の整数部分aは?

x^2=5+2√6
2<√6<3より
9<x^2=5+2√6<11<16
3<x<4
よって、a=3

x=√2+√3+√5の整数部分aは?

14<10√2<15、17<10√3<18、22<10√5<23より
53<10√2+10√3+10√5<56
5.3<x=√2+√3+√5<5.6
よって、a=5

x=√2+√3+√5+√7の整数部分aは?

原理的には直前と同じようなやり方で解けると思います。
つまり、それぞれの項を小数第一位まで求めるという方法です。

しかし、x=√2+√3+√5+√7+√11の整数部分を求めるなど、これをど...続きを読む

Aベストアンサー

No2です。
確かに項の数が大きいときは連分数による近似は計算が大変だと思います。
もし大体の値を知りたければ
次のように考えてはどうでしょうか。
xを無理数として、小数点第一位まで近似計算する。
x=[x]+{x}([x]は整数部分、{x}は小数部分)
0<{x}<0.5のとき x=[x]
0.5<{x}<1のとき x=[x]+1 を代入

√2に1、√3に2、√5に2、√7に3
を代入するといった具合です。

もっと精密にするには小数点第2位まで近似計算して、第2位を四捨五入します、

√2に1.4、√3に1.7、√5に2.2、√7に2.6
を代入するといった具合です。

この方法のもとなるのは
xの小数部分が区間[0,1]に一様に分布するということをつかうのですが、(このことが成り立つかどうか知りませんが)
もし成り立つのならば誤差がならされて大きな項数を加えるときそう大きな誤差にはならないはずです。

1から100までの素数の平方根でやってみると
√2+√3+√5+……+√97=150.288
整数近似のほうは150,小数点第一位近似では150.2
とかなり良い値が得られました。
もちろんこれから整数部分が150という結論は出てこないですが(この場合ちょっとうまくいきすぎでもっとずれる可能性もある)、大体の値を得られるでしょう。確率論を使うとどれくらいの確率でこれこれの範囲内に真の値があると計算できると思います。

外の例でもためしましたが、場合によっては結構誤差が大きくなったりします。
あまり役に立たないかもしれません。

No2です。
確かに項の数が大きいときは連分数による近似は計算が大変だと思います。
もし大体の値を知りたければ
次のように考えてはどうでしょうか。
xを無理数として、小数点第一位まで近似計算する。
x=[x]+{x}([x]は整数部分、{x}は小数部分)
0<{x}<0.5のとき x=[x]
0.5<{x}<1のとき x=[x]+1 を代入

√2に1、√3に2、√5に2、√7に3
を代入するといった具合です。

もっと精密にするには小数点第2位まで近似計算して、第2位を四捨五入します、

√2に1.4、√3に1.7、√5に2.2、√7に2.6
...続きを読む

Q部分分数分解:分母が(s-a)^mの場合

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8035878.htmlでの私の質問に対して、
以下の公式と例をいただきました:

分母が(s-a)^mの場合(m乗の因数の場合)
[公式2]
n(s)/(s-a)^m=A_1/(s-a)+A_2/(s-a)^2 + … +A_m/(s-a)^m

[公式2]の例
 (s^2+3s+1)/(s+1)^4
=1/(s+1) -3/(s+1)^2 +6/(s+1)^3 -3/(s+1)^4

・・・早速、解いてみたんですけど、上のような答えにならないんです。
どうか間違いを指摘してください。

(s^2+3s+1)/(s+1)^4 = A/(s+1) + B/(s+1)^2 + C/(s+1)^3 + D/(s+1)^4
両辺に(s+1)^4を掛けます
s^2+3s+1 = A(s+1)^3 + B(s+1)^2 + C(s+1) + D
s^2+3s+1 = A(s^3 + 3s^2 + 3s +1) + B(s^2 + 2s + 1) + C(s+1) + D
s^2+3s+1 = As^3 + 3As^2 + 3As + A + Bs^2 + 2Bs + B + Cs + C + D
s^2+3s+1 = As^3 + 3As^2 + Bs^2 + 3As + 2Bs + Cs + A + B + C + D
0s^3 + 1s^2 + 3s + 1 = As^3 + (3A + B)s^2 + (3A + 2B + C)s + (A + B + C + D)

{ 0 = A         …(1)
{ 1 = 3A + B      …(2)
{ 3 = 3A + 2B + C   …(3)
{ 1 = A + B + C + D  …(4)

いきなり、A=0ですから雪崩式に
{ A = 0
{ B = 1
{ C = 1
{ D = -1

よって、
=0/(s+1) +1/(s+1)^2 +1/(s+1)^3 -1/(s+1)^4

・・・と思ったんですけど・・・違うんですよね?
連立方程式を立てるところまでは合っていますか?
教えてください。お願いします。

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8035878.htmlでの私の質問に対して、
以下の公式と例をいただきました:

分母が(s-a)^mの場合(m乗の因数の場合)
[公式2]
n(s)/(s-a)^m=A_1/(s-a)+A_2/(s-a)^2 + … +A_m/(s-a)^m

[公式2]の例
 (s^2+3s+1)/(s+1)^4
=1/(s+1) -3/(s+1)^2 +6/(s+1)^3 -3/(s+1)^4

・・・早速、解いてみたんですけど、上のような答えにならないんです。
どうか間違いを指摘してください。

(s^2+3s+1)/(s+1)^4 = A/(s+1) + B/(s+1)^2 + C/(s+1)^3 + D/(s+1)^4
両辺に(s+1)^4を掛けます
s^2+3s+1 = A(s...続きを読む

Aベストアンサー

連立方程式を立てなくても、(s^2+3s+1)/(s+1)^4 を部分分数にする簡単な方法は、

s+1=t と置けば、
s^2+3s+1=(t-1)^2+3(t-1)+1=t^2-2t+1+3t-3+1=t^2+t-1
なので、
=0/(s+1) +1/(s+1)^2 +1/(s+1)^3 -1/(s+1)^4
で合っています。


=1/(s+1) -3/(s+1)^2 +6/(s+1)^3 -3/(s+1)^4
となるのは、2乗ではなく3乗、(s^3+3s+1)/(s+1)^4 ですね。

Q√2-√3-√5+√7+√11-√13<0の証明

√2-√3-√5+√7+√11-√13<0
なのですが、これを計算機を使わないで証明するにはどうすればいいのでしょうか?

数値は適当なので、方針を教えていただきたいです。
根号が5つまでなら、同値変形で移項そして2乗を繰り返していくことによって、整数同士の大小に還元できます。
しかし、根号が6つだとどのように示していけばいいのでしょうか?

Aベストアンサー

√13 - √11
= (13 - 11) / (√13 + √11)
> 2 / (2√13)
= 1 / √13
より、

√2 - √3 - √5 + √7 + √11 - √13
< √2 - √3 - √5 + √7 - (1 / √13)
= (√26 - √39 - √65 + √91 - 1) / √13
となって、

√26 - √39 - √65 + √91 - 1 の正負に帰着される。
あとは、御存知の方法で。


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