媒介変数のグラフの対称性について。

媒介変数、x(t)=cos(t+π/4),y(t)=cos(2t)(0≦t<2π）で与えられているとき、このグラフのx軸、y軸に対する対称性がなぜ、｛x(-t)=x(t)、y(-t)=-y(t)｝（←x軸に対する対称性）、｛x(t+π)=-x(t),y(t+π)=y(t)｝(←ｙ軸に対する対称性）で与えられるのかが分かりません。また、なぜ、x、y軸に対する対象性を調べるとき、x（t）、y（t）両方調べなくてはいけないのかも分かりません。よろしければご教授願います。

No.4 ベストアンサー 回答者： noname#24477 回答日時： 2004/08/24 14:47

前にも書いたつもりですが

ｙ軸対称であることを言うのにｔは関係ありません。
（と言ってしまうと言い過ぎですが）

ｘのときと－ｘのときにｙの値が同じになる
というのがｙ軸対称です。

ｘのときのｙの値（ｔでつながっているからｔを使う）と
－ｘのときのｙの値（これも同様）を計算して等しいか
どうかだけです。

ｘからｔを求める→ｙの式のｔに代入
－ｘからｔを求める→ｙの式のｔに代入
２つが等しければｙ軸対称

いまの問題式でいえば
ｘのときｔとすると
－ｘのときｔ＋π
それをｙに代入して等しいのでｙ軸対称です。

ｘ軸対称
ｙからｔを求める→ｘの式のｔに代入
－ｙからｔを求める→ｘの式のｔに代入
２つが等しければｘ軸対称
だけど

ｙのときｔとすると
－ｙのときｔ＋（π/2）
これをｘの式に代入すると・・・・
ｘの値は等しくならないのでｘ軸対称ではないと思ったが
＃３のtarameさんの式で対称性が示される。
ｙの値に対して複数のｘが存在するらしい。

ためしにｔを消去してみると
ｘ＾４－４ｘ＾２＋４ｙ＾２＝０
たしかにｘ軸、ｙ軸に対称である。

この回答へのお礼

ありがとうございます。分かりました。ｘとｙの両方を同時に調べなければならない意味が。なるほど。そうですね。

お礼日時：2004/08/25 07:37

No.3 回答者： tarame 回答日時： 2004/08/24 10:28

すでに、お二人の方がご指摘の通りｘ軸に対する対称性の式は間違っていますね。

ｙ軸に対する対称性ですが、
＞x(t+π)=-x(t),y(t+π)=y(t)
は、確かに成り立っていますね。
x0＝ｘ(t0),y0＝y(t0)とすると、
ｔ＝t0＋πのとき
x1＝ｘ(t)＝－x0，y1＝ｙ(t)＝y0となり
（x0,y0）と（x1,y1）はｙ軸で対称な点となります。
よって　「0≦ｔ≦π でのグラフ」と「π≦ｔ＜2π でのグラフ」はｙ軸で対称であるといえます。

ｘ軸対称のほうですが、
x(-t-π/2)＝x(t),y(-t-π/2)＝-y(t)という式で対称性を示すことが出来そうですね。

この回答への補足

投稿まことにありがとうございます。ところで、ｙ（ｔ＋π）＝ｙ（ｔ）が成り立つことは分かるのですが、それがどうして、ｙ軸に対して対称といえるのでしょうか？また、ｘ（ｔ）に対しても同時に調べなければならないのはなぜでしょうか？引き続きお願いします。

補足日時：2004/08/24 13:03

No.2 回答者： noname#24477 回答日時： 2004/08/23 23:25

たしかに　x(t)=cos(t+π/4)ではx(-t)=x(t)は成り立ちませんね。

何か式を間違えていませんか？

座標軸に関する対称性の一般論として
（媒介変数はとりあえず考えないで）
ｙ＝f(x)　がｙ軸対称である条件をいえますか？

あるいはｘ＝ｇ(y)がｘ軸対称である条件をいえますか。
媒介変数が話を厄介にしています。一時よけておいて
ください。

＞x（t）、y（t）両方調べなくてはいけないのかも分かりません

いま問題にしているのはｘｙ平面におけるx軸（あるいはｙ軸）に関する問題でしょう。ｔ軸ではないですね。
当然ｘとｙの関係を調べなくてはなりません。

この回答へのお礼

投稿ありがとうございました。

お礼日時：2004/08/24 09:56

No.1 回答者： funifuni11 回答日時： 2004/08/23 18:16

＞このグラフのx軸、y軸に対する対称性がなぜ、｛x(-t)=x(t)、y(-t)=-y(t)｝（←x軸に対する対称性）、｛x(t+π)=-x(t),y(t+π)=y(t)｝(←ｙ軸に対する対称性）で与えられる

これ、間違ってませんか?
そもそも、x(t)=x(-t)とはなっていませんし。
このグラフの対称性について調べる時には、
次のように考えます。

～x軸に対する対称性～
ある1つのxについて、tの値が二つ存在し、
その二つのtについてそれぞれyを計算すると、
それらが異符号の関係になっている。

具体的には、
x(t)=x0　を満たすようなtは二つあって、
片方をt1=α とすれば、
他方はt2=-α + 3/2π です。
t1、t2それぞれをy(t)の式に代入すると、
y(t1)=cos2α
y(t2)=-cos2α
となるので、y(t1)=-y(t2)の関係が
成り立っていることが分かります。
よって、このグラフはx軸対称となります。

y軸対象について考える場合も同じ考え方で出来るはずです。
こんな感じで大丈夫ですか?

この回答へのお礼

投稿ありがとうございます！そうなんですよ。間違っているかどうかはちょっと自分でも分からないのです。Ｙ軸について、なぜ、Ｙ（ｔ＋π）なのか、ぜんぜん分からないのです。自分も調査中なので、今後ともよろしくお願いします。

お礼日時：2004/08/24 09:54