物理の万有引力に関する問題です

次の問題が分かりません。ご教授ください。
恒星から万有引力 -mμ/(r^2) を受ける宇宙船が無限遠方から速度vの速度で飛んできて、恒星の近くを通り、再び遠方に双曲線軌道を描いて飛び去るとき、その運動方向の角度変化θが　tan(θ/2)=μ/(pv^2)　となることを示しなさい。ただし、pは起動の漸近線と恒星との距離である。
同様に計算して、正に帯電した原子核に多量の陽子を照射したとき、運動方向がθだけ曲げられる電子の数は、sin^4(θ/2)に反比例することを示しなさい。

質問者からの補足コメント

• いえ、tan(θ/2) = μ / (pv^2) になってます！

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/06/01 04:35

No.5 ベストアンサー 回答者： reiman 回答日時： 2017/06/01 16:38

若干のミスを直すとともに宇宙船の運動の向きを逆にした方がわかりやすいのでそのように変更する

面積速度をH/2として
双曲線軌道の離心率eとして
恒星の重心を原点として
双曲線軌道を極座標(r,s)表示し
双曲線軌道をs=0の軸に対称になるように配置する
宇宙船はt=-∞の時点の無限遠点(r,s)=(∞,-α)から
恒星を焦点とする双曲線を描いて恒星を左に見ながら回り込み
t=∞の時点の無限遠点(r,s)=(∞,α)に向かって進んでいくものとする
時間の原点は宇宙船がs=0にあるときとする
s':=ds/dt,r':=dr/dtとする
以上の条件で運動方程式を解いて
r=(H^2/μ)/(ecos(s)+1)
r^2s'=H
とできる
rが十分大きいときには軌道が漸近線に一致するとみなせるから三角形面積の公式から
vp/2=H/2⇒vp=H ...(0)
である
r'=(H^2/μ)(esin(s))s'/(ecos(s)+1)^2
=(H^2/μ)(esin(s))(H/r^2)/(ecos(s)+1)^2
=(H^2/μ)(esin(s))(H(ecos(s)+1)^2/(H^2/μ)^2)/(ecos(s)+1)^2
=esin(s)(μ/H)
よって
esin(s)=r'H/μ
である
t→∞でs→αである
t→∞でr'→vであるからt→∞として
v=esin(α)(μ/H) ...(1)
である
またt=∞で(r,s)=(∞,α)であるから
ecos(α)+1=0 ...(2)
である
(0),(1),(2)より
tan(α)=(esin(α))/(ecos(α))=-vH/μ=-v^2p/μ
である
2α=π+θであるから
cot(θ/2)=v^2p/μ
よって
tan(θ/2)=μ/(v^2p)
である

この回答へのお礼

大変ありがとうございます。
面積の取り方で困っていましたがやっと理解できました！
陽子の方の続きの問題は全く方針が立たたず行き詰っているですが、同様にとあるのでこれも面積一定の法則から解くのでしょうか？どうやるのでしょうか...？

お礼日時：2017/06/02 02:22

No.4 回答者： reiman 回答日時： 2017/06/01 13:03

宇宙船の運動の説明を省略したので追加する

面積速度をH/2として
双曲線軌道の離心率eとして
恒星の重心を原点として
双曲線軌道を偏角=0の軸に対称になるように配置する
双曲線軌道を極座標(r,s)表示する
宇宙船はt=-∞の時点の無限遠点s=αの方角から恒星を焦点とする双曲線を描いて
t=∞の時点の無限遠点s=-αの方角に向かって進んでいくものとする
時間の原点は宇宙船がs=0にあるときとする
s':=ds/dt,r':=dr/dtとする
以上から
r=(H^2/μ)/(ecos(s)+1)
r^2s'=H
である
また三角形面積の公式から
vp/2=H/2⇔vp=H
である
r'=(H^2/μ)(esin(s))s'/(ecos(s)+1)^2
=(H^2/μ)(esin(s))(H/r^2)/(ecos(s)+1)^2
=(H^2/μ)(esin(s))(H(ecos(s)+1)^2/(H^2/μ)^2)/(ecos(s)+1)^2
=esin(s)(μ/H)
よって
esin(s)=r'H/μ ...(1)
である
t→-∞でs→αである
t→-∞でr'→vであるからt→-∞として
v=esin(α)(μ/H)
またt=-∞ではr=∞でありs=αであるから
ecos(α)+1=0 ...(2)
である
(1),(2)より
tan(α)=(esin(α))/(ecos(α))=-vH/μ=-v^2p/μ
である
2α=π+θであるから
cot(θ/2)=v^2p/μ
よって
tan(θ/2)=μ/(v^2p)
である

No.3 回答者： reiman 回答日時： 2017/06/01 09:33

sinとcosを逆にしてしまったので修正

ほかにもあるかも


面積速度をH/2として
双曲線軌道の離心率eとして
恒星の重心を原点として
双曲線軌道を偏角=0の軸に対称になるように配置する
双曲線軌道を極座標(s,r)表示する
s':=ds/dt,r':=dr/dtとする
以上から
r=(H^2/μ)/(ecos(s)+1)
r^2s'=H
である
また三角形の公式から
vp/2=H/2⇔vp=H
である
r'=(H^2/μ)(esin(s))s'/(ecos(s)+1)^2
=(H^2/μ)(esin(s))(H/r^2)/(ecos(s)+1)^2
=(H^2/μ)(esin(s))(H(ecos(s)+1)^2/(H^2/μ)^2)/(ecos(s)+1)^2
=esin(s)(μ/H)
よって
esin(s)=r'H/μ
である
t→-∞でs→αとする
t→-∞でr'→vであるからt→-∞として
v=esin(α)(μ/H)
極座標上半平面内漸近線は
ecos(s)=-1
であるsがαに一致するから
ecos(α)=-1
である
よって
tan(α)=(esin(α))/(ecos(α))=-vH/μ=-v^2p/μ
である
2α=π+θであるから
cot(θ/2)=v^2p/μ
よって
tan(θ/2)=μ/(v^2p)

No.2 回答者： reiman 回答日時： 2017/06/01 09:31

面積速度をH/2として

双曲線軌道の離心率eとして
恒星の重心を原点として
双曲線軌道を偏角=0の軸に対称になるように配置する
双曲線軌道を極座標(s,r)表示する
s':=ds/dt,r':=dr/dtとする
以上から
r=(H^2/μ)/(ecos(s)+1)
r^2s'=H
である
また三角形の公式から
vp/2=H/2⇔vp=H
である
r'=(H^2/μ)(esin(s))s'/(ecos(s)+1)^2
=(H^2/μ)(esin(s))(H/r^2)/(ecos(s)+1)^2
=(H^2/μ)(esin(s))(H(ecos(s)+1)^2/(H^2/μ)^2)/(ecos(s)+1)^2
=esin(s)(μ/H)
よって
esin(s)=r'H/μ
である
t→-∞でs→αとする
t→-∞でr'→vであるからt→-∞として
v=esin(α)(μ/H)
極座標上半平面内漸近線は
ecos(s)=-1
であるsがαに一致するから
ecos(α)=-1
である
よって
tan(α)=(ecos(α))/(esin(α))=-vH/μ=-v^2p/μ
である
2α=π+θであるから
cot(θ/2)=v^2p/μ
よって
tan(θ/2)=μ/(v^2p)

No.1 回答者： reiman 回答日時： 2017/05/31 21:20

tan(θ/2)=(pv^2)/μ の間違いでは？