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No.5ベストアンサー
- 回答日時:
若干のミスを直すとともに宇宙船の運動の向きを逆にした方がわかりやすいのでそのように変更する
面積速度をH/2として
双曲線軌道の離心率eとして
恒星の重心を原点として
双曲線軌道を極座標(r,s)表示し
双曲線軌道をs=0の軸に対称になるように配置する
宇宙船はt=-∞の時点の無限遠点(r,s)=(∞,-α)から
恒星を焦点とする双曲線を描いて恒星を左に見ながら回り込み
t=∞の時点の無限遠点(r,s)=(∞,α)に向かって進んでいくものとする
時間の原点は宇宙船がs=0にあるときとする
s':=ds/dt,r':=dr/dtとする
以上の条件で運動方程式を解いて
r=(H^2/μ)/(ecos(s)+1)
r^2s'=H
とできる
rが十分大きいときには軌道が漸近線に一致するとみなせるから三角形面積の公式から
vp/2=H/2⇒vp=H ...(0)
である
r'=(H^2/μ)(esin(s))s'/(ecos(s)+1)^2
=(H^2/μ)(esin(s))(H/r^2)/(ecos(s)+1)^2
=(H^2/μ)(esin(s))(H(ecos(s)+1)^2/(H^2/μ)^2)/(ecos(s)+1)^2
=esin(s)(μ/H)
よって
esin(s)=r'H/μ
である
t→∞でs→αである
t→∞でr'→vであるからt→∞として
v=esin(α)(μ/H) ...(1)
である
またt=∞で(r,s)=(∞,α)であるから
ecos(α)+1=0 ...(2)
である
(0),(1),(2)より
tan(α)=(esin(α))/(ecos(α))=-vH/μ=-v^2p/μ
である
2α=π+θであるから
cot(θ/2)=v^2p/μ
よって
tan(θ/2)=μ/(v^2p)
である
この回答へのお礼
お礼日時:2017/06/02 02:22
大変ありがとうございます。
面積の取り方で困っていましたがやっと理解できました!
陽子の方の続きの問題は全く方針が立たたず行き詰っているですが、同様にとあるのでこれも面積一定の法則から解くのでしょうか?どうやるのでしょうか...?
No.4
- 回答日時:
宇宙船の運動の説明を省略したので追加する
面積速度をH/2として
双曲線軌道の離心率eとして
恒星の重心を原点として
双曲線軌道を偏角=0の軸に対称になるように配置する
双曲線軌道を極座標(r,s)表示する
宇宙船はt=-∞の時点の無限遠点s=αの方角から恒星を焦点とする双曲線を描いて
t=∞の時点の無限遠点s=-αの方角に向かって進んでいくものとする
時間の原点は宇宙船がs=0にあるときとする
s':=ds/dt,r':=dr/dtとする
以上から
r=(H^2/μ)/(ecos(s)+1)
r^2s'=H
である
また三角形面積の公式から
vp/2=H/2⇔vp=H
である
r'=(H^2/μ)(esin(s))s'/(ecos(s)+1)^2
=(H^2/μ)(esin(s))(H/r^2)/(ecos(s)+1)^2
=(H^2/μ)(esin(s))(H(ecos(s)+1)^2/(H^2/μ)^2)/(ecos(s)+1)^2
=esin(s)(μ/H)
よって
esin(s)=r'H/μ ...(1)
である
t→-∞でs→αである
t→-∞でr'→vであるからt→-∞として
v=esin(α)(μ/H)
またt=-∞ではr=∞でありs=αであるから
ecos(α)+1=0 ...(2)
である
(1),(2)より
tan(α)=(esin(α))/(ecos(α))=-vH/μ=-v^2p/μ
である
2α=π+θであるから
cot(θ/2)=v^2p/μ
よって
tan(θ/2)=μ/(v^2p)
である
No.3
- 回答日時:
sinとcosを逆にしてしまったので修正
ほかにもあるかも
面積速度をH/2として
双曲線軌道の離心率eとして
恒星の重心を原点として
双曲線軌道を偏角=0の軸に対称になるように配置する
双曲線軌道を極座標(s,r)表示する
s':=ds/dt,r':=dr/dtとする
以上から
r=(H^2/μ)/(ecos(s)+1)
r^2s'=H
である
また三角形の公式から
vp/2=H/2⇔vp=H
である
r'=(H^2/μ)(esin(s))s'/(ecos(s)+1)^2
=(H^2/μ)(esin(s))(H/r^2)/(ecos(s)+1)^2
=(H^2/μ)(esin(s))(H(ecos(s)+1)^2/(H^2/μ)^2)/(ecos(s)+1)^2
=esin(s)(μ/H)
よって
esin(s)=r'H/μ
である
t→-∞でs→αとする
t→-∞でr'→vであるからt→-∞として
v=esin(α)(μ/H)
極座標上半平面内漸近線は
ecos(s)=-1
であるsがαに一致するから
ecos(α)=-1
である
よって
tan(α)=(esin(α))/(ecos(α))=-vH/μ=-v^2p/μ
である
2α=π+θであるから
cot(θ/2)=v^2p/μ
よって
tan(θ/2)=μ/(v^2p)
No.2
- 回答日時:
面積速度をH/2として
双曲線軌道の離心率eとして
恒星の重心を原点として
双曲線軌道を偏角=0の軸に対称になるように配置する
双曲線軌道を極座標(s,r)表示する
s':=ds/dt,r':=dr/dtとする
以上から
r=(H^2/μ)/(ecos(s)+1)
r^2s'=H
である
また三角形の公式から
vp/2=H/2⇔vp=H
である
r'=(H^2/μ)(esin(s))s'/(ecos(s)+1)^2
=(H^2/μ)(esin(s))(H/r^2)/(ecos(s)+1)^2
=(H^2/μ)(esin(s))(H(ecos(s)+1)^2/(H^2/μ)^2)/(ecos(s)+1)^2
=esin(s)(μ/H)
よって
esin(s)=r'H/μ
である
t→-∞でs→αとする
t→-∞でr'→vであるからt→-∞として
v=esin(α)(μ/H)
極座標上半平面内漸近線は
ecos(s)=-1
であるsがαに一致するから
ecos(α)=-1
である
よって
tan(α)=(ecos(α))/(esin(α))=-vH/μ=-v^2p/μ
である
2α=π+θであるから
cot(θ/2)=v^2p/μ
よって
tan(θ/2)=μ/(v^2p)
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いえ、tan(θ/2) = μ / (pv^2) になってます!