中１の数学です なぜ分数の割り算を逆数にして かけないといけないんですか？

中１の数学です
なぜ分数の割り算を逆数にして
かけないといけないんですか？

No.9 回答者： srafp 回答日時： 2017/06/21 13:25

8番です。

他の方の素晴らしい回答文を真面目に読んでいないので、(￣○￣)ア(￣о￣)ホ!みたいなこと書きますが。

今度は計算式ではなく、論理面での考え方。
質問内容をとても基本的なところに持って行き、
【何故に、ある数値を分数で割る場合、逆数を掛けるのか？】
とさせていただきます。

さて、割り算とは何なのか？
与えられた量［分子］を、与えられた数量［分母］に（均等に）分ける行為。
だから３0（メートル）を２で割れば、15（メートル）
式で表すと
　30［ｍ］÷2＝15［ｍ］
分数で表記すると30/2

では、分母側が分数の時はどういう意味になるのか？
文章が面倒臭くなるので、分母側の分数をm/nだとします。
では、ｍ/ｎとｍを比べた時、どのような関係がみられるか？
ｍに比べてｎ倍［表現が不適切ですねスイマセン］少ないですよね。
　⇒例えばｍに4、ｎに2を入れてみればそうなることがわかる。
　⇒１つの例だけでは納得しないのであれば、好きな数値をどんどん入れて確認
そうなると
　・与えられた量［分子］をｍ等分した後にｎ倍
別の表現をすると
　・与えられた量［分子］をｎ倍した後にｍ個に等分
　・与えられた量［分子］を、【ｎ】倍したあとに【ｍ】に（均等に）分ける行為。
この時点で、割る数×逆数［ｎ／ｍ］になっていることが確認できます。

時間の関係で説明が荒い上、当初の分数を分数で割る場合まで言及できていませんが、先ほどの回答文と合わせて読んでいただき、理解の一助になれば幸いです。

No.8 回答者： srafp 回答日時： 2017/06/21 12:45

先ず、分数を整数で割る場合を考えると次のようになりますよね。

Ａ／Ｂ　÷　Ｃ
　↓
（Ａ÷Ｃ）／Ｂ
　↓　分子と分母に「×Ｃ」を追加
（Ａ÷Ｃ×Ｃ）/（Ｂ×Ｃ）
　↓　表示の順番を変えて
（Ａ×Ｃ÷Ｃ）/（Ｂ×Ｃ）
　↓　「Ｃ÷Ｃ＝1」だから
（Ａ×1）/（Ｂ×Ｃ）
　↓　通常、「×1」は省略して書くから
　Ａ/（Ｂ×Ｃ）

※あれっ！Ｃを分数表示すると「Ｃ／１」だよね。
式の途中に出てきた分子『Ａ×1』の「1」って、「Ｃ／１」の分母と同じだよ。
偶然かな？
では、Ｃの半分の値である0.5Ｃで割るとどうなるのかな？
Ａ／Ｂ　÷　０．５Ｃ
　↓
（Ａ÷０．５Ｃ）／Ｂ
　↓　分子と分母に「×Ｃ」を追加
　↓　表示の順番を変えて
（Ａ×Ｃ÷0.5Ｃ）/（Ｂ×Ｃ）
　↓　「Ｃ÷0.5Ｃ＝2」だから
　↓　　　⇒もし「２」になるのが理解できないのなら、
　↓　　　　１÷0.5＝2÷1＝2　で分かるかな？
（Ａ×2）/（Ｂ×Ｃ）

※あれあれっ！0.5Ｃを分数表示すると「Ｃ／2」だよね。
分子『Ａ×2』の「2」って、「Ｃ／2」の分母と同じだよ。

このままでは「偶然って重なるもんだね。」って言われてしまうから
Ｃを「Ｃ／ｍ」と置きなおして、一般化してみましょう。
Ａ／Ｂ　÷　Ｃ／ｍ
　↓　両方の分数にｍを掛ける
（Ａ×ｍ）／Ｂ　÷　Ｃ
　↓
（Ａ×ｍ÷Ｃ）／Ｂ
　↓　分子と分母に「×Ｃ」を追加
　↓　表示の順番を変えて
（Ａ×ｍ×Ｃ÷Ｃ）/（Ｂ×Ｃ）
　↓　「Ｃ÷Ｃ＝1」で、１は省略できるから
（Ａ×ｍ）/（Ｂ×Ｃ）

教わった通りになりましたよね。

取り敢えずこの説明方法は、ここで終わり。

No.7 回答者： usa3usa 回答日時： 2017/06/19 08:56

＞かけないといけないんですか？

「かけないといけない」ことありません。
自分が納得できる別の計算方法を編み出してください。

気持ちの問題ですかね。
「逆数にしてかければ、割った場合と同じ答えになる」だけです。
この性質を使って計算したい人が使っているだけです。
決して「かけないといけない」ことありませんよ。

No.6 回答者： asano_nagi 回答日時： 2017/06/19 08:03

かけ算は、分母子をそれぞれ掛けます。

それは、なぜだか、本当にわかっていますか？
なんとなく、かけ算はわかったつもりだと、わり算で引っかかります。
まず、かけ算で分母子を掛けるのはなぜなのか理解しましょう。

さて、よく考えるとわかりますが、分数のわり算も、分母子をそれぞれ割ればOKです。
実際に試してみて下さい。
ただこの方法だと、答はなかなかきれいな分数にはなりません。

分母子に同じ分数を掛けることできれいな分数にできます。
その手順が、分母子を入れ替えて掛けるという操作になっています。

No.5 回答者： 暇人の名前 回答日時： 2017/06/19 07:14

例えば2個のリンゴを2分の1で割るとしたら、そのまま割ってしまうとリンゴが4個になってしまい正しい答えの1個が出ません。

なので逆数をかけるようにすればちゃんとリンゴ1個になります。

No.4 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/06/19 04:47

おそらくあなたは割り算の考え方を理解していないのでしょう。

Ａ÷Ｂという式がある場合、割り算とは
ＡにＢというものがいくつあるかを聞いているわけです。
つまりＢという単位でＡを考えた場合にいくつになるか、なのです。


実際に例を挙げてみます。
2÷(1/3)
という式で考えてみましょう。
「リンゴが2個あって1/3で割る」とすると、おそらく理解ができないはずです。
ですので、
「2個のリンゴを1/3という単位で割るといくつになるか」
と文章を少し変えてみると少しはわかりやすくなるはずです。

つまり「1/3のリンゴのかけらが、丸々2個のリンゴからいくつ作れるか」
ということを聞いていることになります。

ですから
2=1/3 +1/3 +1/3 +1/3 +1/3 +1/3=(1/3)×6
と、リンゴのかけらが6個作れるわけです。
両辺を(1/3)で割れば
2÷(1/3)=6
という式が得られます。

ところで、6は
6=2×3
と表せるので、
2÷(1/3)=2×3
という式が成り立つわけです。
すなわち、割り算は逆数にしてかけても同じ値になると言えたわけですね。


上の例で、1/3を2/3に代えても、
2=2/3 +2/3 +2/3 =(2/3)×3
両辺を(2/3)で割って、2÷(2/3)=3
3は、3=2×(3/2) と表せるので
2÷(2/3)=2×(3/2)

と、数値を変えても同じことが言えます。
納得できないのなら、自分で数値を変化させて確認してみてください。

結局は、どのような分数で割り算をしても
計算では逆数にしてかけたものと同値になります。



もしかしたら学校では考え方をあまり教えずに、
「分数で割られていたら逆数にしてかける」
という計算方法だけを教えていたのかもしれませんね。

No.3 回答者： kuroki55 回答日時： 2017/06/19 03:27

これで分かるかな？

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/06/19 03:02

分数の定義と、乗法の結合法則・交換法則を使うと、スパっと式で示せるけど、そこは大学1年生で行なう。

それまでは、以下で我慢。

「a÷bの答えをa/bと書く」と言うのが、分数の定義。
この定義に従うと(a/b)÷(c/d)=(a/b) / (c/d)

分母と分子が分数の形になる。
分母・分子に同じ数を掛けても良いから、d/cを掛ける。

分子=(a/b)×(d/c)
分母=(c/d)×(d/c)=1(お互いが逆数だから）

分母が1になるから、
(a/b) / (c/d)＝{(a/b)×(d/c)}/1=
(a/b)×(d/c)

具体的に(2/5)÷(3/4)で。

(2/5)÷(3/4)=(2/5) / (3/4)

分母・分子に(4/3)をかけると
={(2/5)×(4/3)} / {(3/4)×(4/3)}
=(2/5)×(4/3) / 1
=(2/5)×(4/3)