円 (x-1)^2+(y-1)^2=1 に外接し、なおかつx軸に接する円の中心の軌跡を求めよ。

という問題を解くときに、
求める円の中心をP(a,b)としたときに、
b>0になる場合とb<0になる場合で場合分けをして考える必要はありますか?

それとも単純に2円の中心の距離を求めて三平方を使って式を導出し、
x≠1のとき、y=(1/4)(x-1)^2 
x=1のとき、直線x=1のy<0の部分

という風に二行に分けて答えを書けばよいのでしょうか。

ご回答よろしくお願いします。

A 回答 (3件)

No.1さんのいう"イメージ"が先に浮かんで、


「x軸にどっち側で接するか(⇒外接円の中心のy座標が正か負か)
で場合分けが必要!と思えた人は前者ですかね。

私は最初、外接円をC2:(x-a)^2+(y-b)^2=b^2
と考えて、「与えられた円C1の中心間の距離=(C1の半径)+(C2の半径)」
→ b=(1/4)(a-1)^2
を出した後、「x=1のとき、半径0になっちゃう???…あっ!?」
と思った次第(⇒後者)です。

…「問題に対するアプローチの仕方の違い」かなと思います。
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この回答へのお礼

なるほど!アプローチ方法の違いなのですね。
詳しいご説明、ありがとうございました!

お礼日時:2017/07/16 21:36

b>0, b<0 と場合分けしないと式が異なるのでは?



もし、
(a-1)^2+(b-1)^2=(b+1)^2
(a-1)^2+b^2-2b+1=b^2+2b+1
4b=(a-1)^2
b=(1/4)(a-1)^2
と計算したのであれば、これは、
中心のy座標bが 正 のときの場合で、

中心のy座標が負のときは
(a-1)^2+(b-1)^2=(-b+1)^2
         ~~
では?
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この回答へのお礼

やはり場合分けが必要ですよね。
式が変わってしまうという説明にとても納得しました。ありがとうございました!

お礼日時:2017/07/16 21:37

んーと。


どんな形になるのかイメージできているのかな?

できていないなら、下の図を参考にして考え直してみましょう。
「ある円に外接する円の条件」の回答画像1
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この回答へのお礼

図を作ってくださりありがとうございます。
実際に書いてみたときにX軸より下に円がある場合もあるなと思い質問させていただいた次第です。
ご回答ありがとうございました!

お礼日時:2017/07/16 21:35

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y^2+y-a-9=0
と、yの2次方程式になっています。

[1] 放物線と円が2点で接するとき
グラフ(ウ)のように2点で交わり、
放物線を下方に平行移動させると2個の交点が近づいていき、
ついには、2個の交点が一致して
グラフ(エ)のように円と接する。

yの2次方程式だから、yの値が2個(α、β)あり、
(グラフはx軸に関して対称だから、x>0で考える)
グラフを平行移動させることにより
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(添付写真があるので、次に続く)

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『 2個の交点が近づいて、一致したとき接点になり、接する 』
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公的な研究機関の研究者です。
純粋数学の研究ではないのですが、数学をかなり使います。

数学的には、あなたが完全に正しいです。
数学的には、先生が完全に間違っています。
(一切の余地なくです)

「=」の記号は方程式を意味し、方程式は「両辺が等しいこと」以外の意味は一切持ちません。
「段落の使い方」や「幅」や「改行」によって、異なる意味を持たせるなどというルールは
ありません。
(「=」の記号を、世間の定義とは別に新たに定義すれば別です。)

ですが、そういう先生は、自分の間違いを認めません。
表面的でいいですから、間違いを受け入れましょう。
別の先生に言ったところで、その先生のプライドを傷つけて、目をつけられるだけです。

数学は、「正しいこと」が理解できていれば十分です。
テストの点数なんてどうでもいいじゃないですか。
数学なんですから、正しければそれでいいんです。
テストの紙に「×」って書いてあっても、正しいものは正しいです。
入試とかじゃないのならば、それでいいじゃないですか。

「大嫌いなあの先生に一泡吹かせる」
が目的ならば、追求すればいいですが、
「何が正しいのかを知りたい」
のであれば、あなたが100%正しいので、安心して、次の問題に取り組んでください。

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ある程度、
「みんなで同じ定義や記述方法をそろえておく」
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として間違いにしたのならば、少し理解できます。
が、やはり数学的には正しいので、数学の問題である以上
「間違い」には出来ないと思います。

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