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xyz平面でx^2+y^2=r^2が円柱を現すのはなぜですか?

もしzが3なら0から3までの円柱を現すということですか?

回答お願いします。

A 回答 (5件)

#3の回答者です。



正しくは、「円筒」ですね。
(ご質問文も私の回答文も)
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「円柱」というと、普通は、上と下に底面のある立体を指しますね。


xyz空間での x^2+y^2=r^2 のような、円柱の側面だけが果てしなく続く曲面を
「円柱面」と言うのですが、略して「円柱」と言ってしまう事もあります。
算数で言う「円柱」は、x^2+y^2≦r^2, 0≦z≦h だろうと思います。
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こんにちは。



まず、
・「xyz平面」ではなく、「XYZ座標」あるいは「XYZ座標系」
・「現す」ではなく「表す」
です。


>>>XYZ座標系でx^2+y^2=r^2が円柱を表すのはなぜですか?

#2様がおっしゃるとおり、zは何でもよいということです。


>>>もしzが3なら0から3までの円柱を現すということですか?

違います。
x^2 + y^2 = r^2

z=3
の2つ1組で、「z=3 という、Z軸に垂直な1枚の紙(平面)に描かれた円「だけ」を表します。
z=3 だけでなく、z=0、z=1、z=2、z=4、z=-1、z=-2、z=100、z=1億、z=0.5、z=123.4567、z=√2、z=π、・・・・・
これらそれぞれについて、1枚ずつの「紙」があり、
1枚1枚の紙に x^2 + y^2 = r^2 という円が描かれている、ということです。
つまり、それらの無限個数の円を合わせたものなので、結果的に円柱を表していることになります。

zの範囲が指定されていなければ、円柱の高さは、上にも下にも無限になります。



もっと簡単な例を挙げてみましょうか。

XY座標系で、y=x という式があるとき、それは、
原点を通る、傾きが45度の直線を表すものであることはご存知かと思います。

では、
XYZ座標系で、y=x は何を表すでしょうか?
こたえは、原点(0,0)を通り、XY平面(z=0の面でもある)を真上から真っ二つに切る平面です。
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式にzが含まれていないと言うことは


「zが何であってもいい」という意味です。

イメージとしては、半径rの円が
z軸を包むように、縦にズラッと並んでいるような感じです。
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xy平面ではx^2+y^2=r^2が円(周)を表しますよね。


それがxyz空間になると指定されたzの範囲だけ円が連続したものになります。
しかしこれは正確には円柱ではなく円柱の側面のみです。(内側が含まれていないため)
x^2+y^2≦r^2の場合は円柱をあらわします。

z=3の場合はz=3において半径rの円があるだけです。
0≦z≦3だとz=0から3において円柱の側面のみがあることになります。
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