図のような、半径Rの半球をさらに高さ方向に1/2に切った形状をした立体がある。 ①図の立体の重心を求

図のような、半径Rの半球をさらに高さ方向に1/2に切った形状をした立体がある。

①図の立体の重心を求めたい。立体を薄い円板状に分割して求める。まず、薄い円板について図を描き、またその円板のサイズ(円板の厚さ dx、球中心からの半径 R、ある高さxにおける円盤の半径√(R^2-x^2))、等必要な記号をその図に記入せよ。

②図の立体の質量をMとしたときのMの値と球の中心から重心までの距離R'を求めよ。ここで、立体の密度をρとおく。

この問題を解いて教えて下さい。お願いします。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/07/23 12:25

円盤の体積は dv=π(R^2-x^2)dx は分かりますよね？

円盤の重さ dm=ρdv=ρπ(R^2-x^2)dx

とすると重心の位置 R'=∫xdm/∫dm (積分範囲は x=0～R/2)

後は計算するだけ。手元のシンボリック積分のできる
電卓によると(^^;

R'=(21/88)R

No.1 回答者： kuroki55 回答日時： 2017/07/23 01:17

高さxの時の円盤の体積は

Π×(√R^2-x^2)^2×dx（Πは円周率）
=Π(r^2-x^2)dx・・・(a)
(1)
(a)をx=1/2RからRで積分する。
(2)
M=ρ×(1)で求めた立体の体積
R'=1/2R+x1とすると
(a)を1/2Rから1/2R+x1で積分した値と
(a)を1/2R+x1からRで積分した値が等しいとして
x1を求めてR'を求める。