数A 反復試行 さいころの最大·最小

さいころをn回(n≧2)投げるとき、出る目の最大値が5である確率を求めよ。
という問題で、私は、少なくとも1回5が出れば良く、残りは1～5の何が出ても良いと考え (1/6)^1×(5/6)^n-1 という式を立てたのですが、これの何が間違っているのかが分かりません。

解答には、余事象を利用して (5/6)^n-(4/6)^n とありました。

質問者からの補足コメント

• 回答ありがとうございます。
  
  5/6では6の目を外しているつもりだったのですが······

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/08/04 14:03

• 回答ありがとうございます。
  
  最大値が5というのは、5が何回も出ていいんですよね。
  ではなぜ4/6になるんでしょうか。なぜ5もひくんですか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/08/04 14:10

No.9 回答者： sc348253 回答日時： 2017/08/05 19:11

確率を考える上で、集合の考えは、欠かせません！この場合も、

(1/6)^n
(5/6)^n
(4/6)^n
1ー(1/6)^n
(5/6)^n ー (4/6)^n
などを、集合の範囲で考えてくださいね！
理解しやすくなるでしょう！

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2017/08/08 21:57

No.8 回答者： sc348253 回答日時： 2017/08/05 12:06

成る程！nC0=1 ,(1/6)^0=1 からすぐにわかりよ！

No.7 回答者： 20170130 回答日時： 2017/08/05 00:54

補足ですが、二項定理を使えば、No.5様が示された式は、(5/6)^n-(4/6)^n　になります。

興味を持たれたら、やってみるのも面白いと思います。

二項定理
(a+b)^n = Σ【k=0→n】nCk・a^k ・b^(nーk)

ここで、a=1/6, b=4/6, No.5様の式との違いは k=0 があることだけ

No.6 回答者： sc348253 回答日時： 2017/08/04 15:55

(6^3 ー6^2)/6^3=61/6^3 ⇨(5^3ー4^3)/6^3=61/6^3 に訂正！

兎に角、確率的な考え方が出来るまでは、自分で考えないように！

正解の答えの理解に努めてください！

いろいろな考え方ありますから、自分の理解できる自分のやり方を確立しましょう！

私もかっては確率は苦手で全くダメでしたからね！大丈夫！

現代国語の成績良くなれば確率も良くなるかも！？

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2017/08/04 15:28

No3による正攻法についてわかりましたので、お答えします！

n=2の場合
始めに5 次は6,5以外で、4なので、4通り
最初は６，５以外で、1-4で4通り 次は5
（５，５）が1通り

n=3なら
5が1回は
(5,1-4,1-4) で、1・4・4
(1-4,5,1-4)も、4・1・4
(1-4,1-4,5)も、4・4・1
5が2回は
(5,5,1-4)は、1・1・4
(5,1-4,5)も1・4・1
(1-4,5,5)も、4・1・1
5が3回は、(5,5,5,)が1
よってその確率は、
3C1(1/6)(4/6)^(3-1) +3C2(1/6)^2・(4/6)^(3-2) +3C3(1/6)^3
よって一般には、

Σ【k=1→n】nCk・(1/6)^k ・(4/6)^(nーk) …(正攻法での答え)

n=3なら
3C1(1/6)(4/6)^2 +3C2 (1/6)^2・(4/6)+3C3(1/6)^3・(4/6)^0 =61/6^3

(6^3 ー6^2)/6^3=61/6^3

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2017/08/04 14:24

私の回答に寄せられた補足コメントに対して

それは、あくまで貴方の回答に対してのおかしい点を述べているだけで、
貴方の考えによる私の回答であって、私は絶対しない回答という前提で、
貴方が、(1/6)^1 と5 を使ったので、最大値が5となるには、6と5を省くので、
(6-2)/6という意味だけです。でも、この考え自体がおかしいので、訂正したところで
あまり意味はありませんがね！

この回答へのお礼

わかりました。
余事象の考え方は理解出来たので、そちらで出来るようにします。
ありがとうございます。

お礼日時：2017/08/04 14:29

No.3 回答者： 20170130 回答日時： 2017/08/04 14:13

回数 n が 2 のときを考えてみて下さい

質問者様の解答では 5/36 になりますね。

条件にあう場合を列記すると
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)
(1,5),(2,5),(3,5),(4,5)
なので、正しい確率は 9/36=1/4 であることは御理解いただけると思います。

質問者様の解答の式を解釈すると、(回数が2回の場合)
1回目に 5 が出て、2回目に 5以下が出る確率なので
1回目に 4以下が出て、2回目に 5が出る確率が含まれていません。

何回目に 5 を出すかで n通りあるので、
n*(1/6)^1×(5/6)^(n-1) と修正すると、今度は 5 が 2度以上出る場合を余分に数えることになってしまいます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2017/08/04 14:20

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2017/08/04 14:02

計算は複雑過ぎてできませんが、おかしい点のみ！

(1/6)^1 は、1回の試行で、5が1回出る確率です。次に、
(5/6)^(n-1)は、6以外の出る場合のnー1の試行の確率で、この考えなら
まずおかしいことは、6,5も出てはいけないので、５／６でなく4/6 ですね！
それは、兎も角、ひとつひとつは合っているようにみえますが、
掛けられないものを掛けている または、かけあわしても意味をなさないということです。
つまり、本当の意味で、本題の意味が把握できていないということです。
(1/6) ^1 で、5があればいいということで、だされたのですが、
2回目以降の試行では、この式は意味をなしません！つまり、支離滅裂になります。
ひどいかもしれませんが、確率的な考えができていないミスでしょう！
ですから、まず、考えるよりも、回答の理解から始めるべきでしょう！
その上で、統一的な考えが出来てから、考えてはいかがでしょうか？
少なくとも5が1回ということは、、5が1回ではなく、全て出たものが5である場合も
入りますから、n回の試行ですから、正攻法の計算では、場合分けが膨大になりますから、

余事象でするしか方法はないと思います。つまり、
6が1回も入らない確率が、出る目が6ではない、つまり5以下の確率ですから、
(5/6)^n
次に、5を最大値にするためには、全てが4以下になる場合を省く必要があるので、
((6ー2)/6)^n
よって、(5/6)^n ー (4/6)^n 以外の答えはないでしょう！

ちなみに、(5/6)^n ではなく、6以外でいいからと、1ー(1/6)^n
の考えでは、1回の試行で、6以外という意味だけで、(6,6,6……)以外の 例えば、
(6,5,5,3,2,1)などのような場合も入ってしまい(5/6)^nよりも大きい値になり
これも、出る目が5以下のみの確率ではありません！

No.1 回答者： soraoniji 回答日時： 2017/08/04 13:51

さいころって６の目がありませんか。

あなたの　(5/6)^n-1　の部分は５以外の目であって６の目も入ってしまっています。
そうすると最大値は６となってしまいます。
5/6だけで「６の目は外す」はできないと思います。
そこで余事象を使っていると思います。