高校生です。 因数分解で解が求められるのはなぜでしょうか。 例えばa,b実数とした時、bx−ba＝0

高校生です。
因数分解で解が求められるのはなぜでしょうか。
例えばa,b実数とした時、bx−ba＝0…①の解を求める場合、くくらなくてもいいですが、b（x−a）＝0とし、（）の中が0になるような、xを求めれば解が出せます。
しかし、これでなぜ答えが出せるのかが、わかりません。
（）の中が0になるから掛け算をしたらbx0＝0となるから、と言われても、b×0＝0は0の掛け算の定義だと思います。
0の掛け算の定義を用いずに、①について、ゼロの定義r+0＝r（rは実数）⇔r−r＝0だけを用いれば、bx＝ba⇔x＝aとなり解は求められるはずです。
ここで0の掛け算を用いて証明されても納得いきません。
異なる定義の一方から解が得られたとして、他方の解になる保証はないんじゃないかなぁと思います。
もしかして、b×0＝0とb−b＝0は同値なのでしょうか？
これが気になって、2次方程式は気持ち悪くて解の公式を使ってだけしか解けないし、もちろん三次以上で因数分解を用いて解を求めることも気持ち悪くてできません。
現時点でどう考えれば良いのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• すいませんb≠0かつa≠0としてください

    補足日時：2017/08/15 10:29

• 四次以上になれば解の公式が存在しないし、因数分解を使った解の求め方しか存在しなくなるため
  また、いつも解の公式を用いていると解と係数の関係が使えないし、まともに計算すると大変な問題が多いため質問してみました。

    補足日時：2017/08/15 10:36

• 個人的な感想の吐露ではなく、現時点でどのように考えれば良いかなにかアドバイスがいただけたらなと思って質問してみました。
  質問になっていないと感じさせてしまったなら申し訳ないです。

    補足日時：2017/08/15 10:39

• その0をかけると0になることが、納得行かないんですよね。
  まぁ、シンプルなのが一番ですが…

    補足日時：2017/08/15 11:36

No.9 回答者： puyo3155 回答日時： 2017/08/18 08:33

解の公式ってそもそも因数分解じゃん。

まず自分の疑問に固執する前に、謙虚に回答に耳を傾けてごらんよ。

感覚的に納得いかないのは、あなたに経験や問題を解く訓練が足りないから。素振りしないでホームラン打ちたいバカと同じです。

一旦疑問は棚上げし、問題をときまくることです。間違った理論でないことは明らかなので。そうしていくと突然霧が晴れたようにその意味がわかる時がきます。学ぶとはそういうものです。

No.8 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2017/08/16 21:12

1つだけ豆知識!

2次関数は平方完成と2乗の差
の公式によって必ず因数分解することができます。従って一般の2次方程式を因数分解することによって解の公式を導き出すことができます。
ax^2+bx+c=0 {b‡0}
a{x^2+2×(b/2a)+(b/2a)^2-(b/2a)^2}+c=0
a{x+(b/2a)}^2-a(b^2-4ac)/(2a)^2=0
a[x-{-b+√(b^2-4ac)}/2a][x-{-b-√(b^2-4ac)}/2a]=0

テキスト文なので読みにくいですが、解の公式そのものです。

一般の3次方程式も立法完成と三元三次式の因数分解の式によって1つの実数解を求めることができます。これをカルダノの公式といいます。

同様に一般の4次方程式も4次元完成をすることで２つの2次式の積に変形することができるので、必ず解くことができます。これをフェラーリの方式といいます。公式化するにはあまりにも複雑なので、手順だけが示されています。(これを公式と表記している文献もあります。)

一般の5次方程式以上は四則演算と累乗根だけでは解けないことが証明されていますが、具体的な式が与えられていると奇次方程式は必ず少なくとも1つの解があるので、かなりの確率で解けます。

このように、XX完成の変形を覚えると機械的に因数分解することができるようになるので、次数に関係なくワンパターンで解くことができます。判別式や解の公式なんか覚える必要もありません。

No.7 回答者： windwald 回答日時： 2017/08/16 09:15

#5です。

訂正を。
0の定義は b+z=b となる数zが存在し、それを0と表記することですから、
b+0=b より b-b=0 、こちらのほうが0の定義に近いですね。
証明自体には変わりありません。

No.6 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2017/08/15 13:18

現時点でどう考えればいいか, というのであれば, 余計なことはなにも考えるな, というアドバイスになります.

この質問 ↓ で, 私は貴方に代数系を学ぶようアドバイスしました.
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9868449.html

けれど, 貴方は実行していませんよね.
好奇心旺盛ではあるが, 疑問を解決するための努力は嫌う.
疑問が未解決のまま, 新たな質問を連発する.
一般論ですが, 学問に向いていない人の特徴です.

A が環であるなら, ∃0 ∈ A, ∀x ∈ A (x + 0 = 0 + x = x) であり, この 0 を A の零元といいます.
これは零元 0 の定義です.
一方, ∀x ∈ A (0x = x0 = 0) が成り立ちますが, これは 0 の定義ではありません.
分配法則を用いて証明できる, 簡単な命題です.

b ≠ 0 で, b(x - a) = 0 のとき, x - a = 0
環という代数系で考える場合, 上のことは必ずしも成り立ちません.
整域（有理整数環 Z が代表例）や体（実数体 R など）という代数系では, 必ず成り立ちます.

高校数学の勉強, 頑張ってください.

No.5 回答者： windwald 回答日時： 2017/08/15 12:20

>もしかして、b×0＝0とb−b＝0は同値なのでしょうか？

同値です。
まず右向きの証明です。b×0＝0 ⇒ b−b＝0を示したいと思います。
左は0の定義ですね。そして、1の定義よりb*1=b、負の数の定義より1+(-1)=0、b+(-b)=0、分配法則を用います。
b×0=0
b×{1+(-1)}=0
b+(-b)=0
b-b=0

左向きはこの式変形を逆にたどることになりますので、
b×0＝0 ⇔ b−b＝0
です。

また因数分解して……と考えなくても
bx-ba=0　でb≠0なら両辺をbで割れば　x-a=0　が出てきますよね。

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2017/08/15 11:11

何か勘違いしてませんか。

b(x−a)=0　の式は、b=0,又はx=a です。
どちらでも良いのです。(b=0,および x=a) ではありません。
（b≠0 ならば、x=a だけが答えになりますが。）

複数の数又は式の積が０になると云う事は、
その中の何れかが０であれば良いのです。
そう云った考え方が、シンプルだと思いませんか。

ですから、因数分解できる式ならば、
因数分解してそのどれかが０になるとした方が
楽に答えにたどり着けます。

No.3 回答者： uyama33 回答日時： 2017/08/15 11:05

高校生が勝手に勉強して大学などでの知識を身につけても

犯罪者にはならないのでどんどん勉強してしまいましょう。

お勧めの本は、
ALGEBRA S.Lang 著
です。

君なら理解できると思う。

保護者の方に、このコメントを見せて、
買ってくれるようにおねだりして下さい。
きっと、買ってくれると思います。
読み終われば、
ここで質問する側から
ここで回答する側に
すぐに変われると思います。

No.2 回答者： banzaiA 回答日時： 2017/08/15 10:32

>気持ち悪くてできません。

個人的な感情を吐露されては回答ができません。「そうですか、お気の済むままに…」ぐらいが関の山。

＞①について、ゼロの定義r+0＝r（rは実数）⇔r−r＝0だけを用いれば、bx＝ba⇔x＝aとなり解は求められるはずです。
「～はずです」とはそう思うだけで、証明されているのですか？　それなら、それで解を求めればいいでしょう。

あなたの言うように、0の掛け算の定義を用いずに解が求めることができるなら、その方法で解決なさればいいでしょう。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2017/08/15 10:22

＞bx＝ba⇔x＝aとなり解は求められるはずです。

b=0 のときには、そうはなりません。

bx−ba＝0…①
の解は、
　x=a または b=0
です。
なぜかといえば、
　b(x - a) = 0
となるのは、
　b=0 または x - a = 0
だからです。