群論 代数

「巡回群 Z/12Z は Z/3Z と Z/4Z との直積に分解されるが Z/6Z と Z/2Z との直積とはならない。」
ということをネットで知ったのですがこのことが分かりませんので具体的に説明して頂きたいとおもいます　よろしくお願いいたします

No.1 回答者： mathstudent 回答日時： 2017/10/04 21:51

http://izu-mix.com/math/?p=1705

イメージについては、こちらのサイトに分かりやすく書かれています。

『2つのボタンA、Bが繋がれたアナログ時計がある。初期段階ではアナログ時計は0時を指しており、以下では分のことは考えなくてよい。
(1) Aのボタンを押すと時計の針は3時間進み、Bのボタンを押すと時計の針は4時間進む。このとき、これらのボタンを適当な回数押すことで、この時計は1時から12時までのすべてを指し示す事ができることを示せ。
(2) Aのボタンを押すと時計の針は2時間進み、Bのボタンを押すと時計の針は6時間進む。このとき、これらのボタンを適当な回数押しても、この時計は1時から12時までのすべてを指し示すことはできないことを示せ。（指し示せない時刻があることを示せ。）

『簡単に解答を書いておこう。どちらも0時はボタンを押さずに示すことができる。(1)では、Aのボタンだけで、3時、6時、9時が示せる。次にBのボタンを1度押したあと、Aのボタンを繰り返し押せば、4時、7時、10時、1時を示せる。Bのボタンを2度押したあと、Aのボタンを繰り返し押せば、8時、11時、2時、5時を示せる。以上より、すべての時間を指し示せることが示された。一方、(2)では明らかに奇数の時間は示せない。（示せるのは偶数時間の6種類だけである。）

なぜこのような差が生まれるかというと、(1)ではボタンで進む時間が“互いに素”であり、(2)では“互いに素になっていない”ことがポイントである。12を周期とする巡回について、互いに素であれば、12種類すべてが現れるが、最大公約数が2の2つの巡回を組み合わせると、現れる数字は最大公約数の2で割った、6種類に半減する事がわかる。』

この回答へのお礼

詳しいご説明を本当に有難う御座います
よくわかりました

お礼日時：2017/10/05 23:43