31/99=1/a+1/b+1/11ab aとbは自然数で a＜bのとき a,bの値を求めなさい。

31/99=1/a+1/b+1/11ab
aとbは自然数で a＜bのとき a,bの値を求めなさい。
答えは（5,9）になるらしいのですが解き方がわかりません

質問者からの補足コメント

• 31/99=1/a+1/b+1/11（ab）です

    補足日時：2017/10/18 18:44

No.7 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2017/10/19 10:20

青チャからヒントをもらって、

31/99＜33/99＝1/3と問題の式よりａ、ｂは両方とも≧4でなければならない。
問題の式の両辺11ａｂをかけて左辺を約分すると、
31ａｂ/9＝11(ａ＋ｂ)＋1･･･①
ａ＜ｂより、ａ＋ｂ＜2ｂなので、①の右辺は＜22ｂ＋1　したがって
31ａ/9＜22＋(1/ｂ)＜22＋1＝23
ゆえに、ａ＜23×9/31＝6.67...だから結局、４≦ａ≦6、すなわちａは4、5、6のどれかである。
①にａ＝4、5、6　をいれてｂが自然数になるのは、ａ＝5のときでこのときｂ＝9　です。

この回答へのお礼

31/99＜33/99=1/3より
a,bがともに≧4になるどころがわかりません。33/99はどこからでてきたんですか？

お礼日時：2017/10/19 15:47

No.8 回答者： syotao 回答日時： 2017/10/19 16:24

ようするに、31/99＜1/3　を示したかったのです。

これがあるから、かりにａが3以下の自然数ならば1/3≦1/ａになって、1/b+1/11ab ＞0だから
1/3＜1/a+1/b+1/11ab 、これと31/99＜1/3とから
31/99＜1/a+1/b+1/11ab となって＝とはなりませんね。
なのでａ≧4です。またまったく同じ理由でｂ≧4　です。

この回答へのお礼

理解できました！ありがとうございました！

お礼日時：2017/10/19 17:06

No.6 回答者： GBde 回答日時： 2017/10/18 21:14

(31/99) = (1/a + 1/b + 1/(11*a*b)) は　- 9 - 99 a - 99 b + 31 a b = 0 を考えればよく

　　　　　　すぐ　この双曲線上の格子点は得られます。

No.5 回答者： カワノ_メダカ 回答日時： 2017/10/18 20:07

年寄りの声、参考までに。

31/99=1/a+1/b+1/11ab
=(11a+11b+1)/11ab
31/9=(11a+11b+1)/ab
展開
31ab=99a+99b+9
a(31b-99)=99b+9
a=(99b+9)/(31b-99)
自然数でa<b
(31b-99)≧1 31b≧100
bは4以上なので4と仮定
a=(99×4+9)/(31×4-99)
=405/25=16.2→NG
b=5と仮定
a=(99×5+9)/(31×5-99)
=504/56=9
結果良しでa,bを入替えて
a=5 b=9

以上です。

No.4 回答者： kuroki55 回答日時： 2017/10/18 14:20

No.2です。

a=9n（nは自然数）とおくと、
31/99=(11b+99n+1)/(99bn)
b=99/20+1/(20n)
n=1の時b=5（aとbをいれかえる）
上の式の99/20を計算して
b=4.95+1/(20n)
n≧2のとき
4.95<b<5
従って
bは自然数にならない。

No.3 回答者： diff3356 回答日時： 2017/10/18 13:05

(a, b)=(5, 9) を代入して、

31/99 = 1/a + 1/b + 1/(11ab),
が成立するので、右辺はこの形であるとします。
※まず、数式を正確に記述してください(この場合、かっこは必須です)。
(与式) ⇔ (31a - 99)(31b - 99)=10080=2^5*3^2*5*7.
これを利用して( ), ( )の組、(a,bの組) を決定してください。

No.2 回答者： kuroki55 回答日時： 2017/10/18 12:53

通分すると

31/99=(11b+11a+1)/(11ab)
31と99は互いに素であるから分母を比較してabは9の倍数
a=3,b=3はa<bを満たさないのでaまたはbが9の倍数
a=9nと置いて
n=1の時
31/99=(11b+99+1)/(99b)
31×99b=99×(11b+100)
従って
b=5
a<bよりaとbを入れ替えて
a=5,b=9
一組だけ求めれば良いのなら上記でよいが、そうでなければn≧2の時はどうなるかを証明しなければいけない。
今は思いつかない。ゴメン。

No.1 回答者： gootarohanako 回答日時： 2017/10/18 12:20

上の式の右辺の1/11abは(1/11)×abそれとも1/(11ab)？どちらにしても、答えと言われる(a,b)=(5,9)を代入しても、右辺と左辺は等しくならないので、正解とはいえない。