ボレル可測関数についての質問

大学数学、ボレル可測関数についての質問です。

ボレル可測関数の定義を以下のようにします。
f：R→Rの関数において、任意の実数aに対し、集合P={x∈R｜f(x)>a}∈B(R)となること。
※ここではこの集合をPとします。

ボレル集合族B(R)は、位相空間の開集合系から可算回の合併、交叉、差を取ることによって得られる集合とします。

f(x)=(1/x(x≠0),0(x=0))と定義した時に、f(x)>aを満たすのは、

a<0の時、P=(－∞,1/a)∪[0,+∞)となり、これはボレル集合族に含まれます。
a=0の時、P=(0,+∞)となり、これもボレル集合族に含まれます。
a>0の時、P=(0,1/a)となり、これもボレル集合族に含まれます。

こういった具体的に書けるものに関しては、ボレル可測関数であることが定義から容易に示せるのですが、ここからが質問となります。

f(x)=(sin(1/x)(x≠0),1(x=0))みたいな関数になると、

a<－1の時は、P=(－∞,+∞)と書けて、a≧1の時は、P=Φ（空集合)と書けるのですが、－1≦a＜1の場合は、何となくPは無数の開集合と{0}の和集合で表されるのはわかりますが、どのように答案として書けばよいかわかりません。

定義関数やR上の連続関数がボレル可測であることを使って示せば答案としては書きやすいのですが、定義に基づいて解こうとするときはどのように書けばよいのでしょうか？

教えてください。よろしくお願いします。

No.3 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2017/10/20 10:10

>a＝1/2であれば、sinもうまく消えるので表しやすいですが、一般的にはArcsinを用いることになりそうで、複雑になると思います。

本当に複雑になるかどうか, -1 ≦ a < 1 である任意の a について, 貴方は P を求めることを試みたのですか.
私は, 少しも複雑とは思いません.

>例えば、f(x)＝((sinx)/x(x≠0),1(x＝0)）のようなものでは、
これは貴方の後出しで, 今回の質問では考慮の対象外です.
貴方が自分で結論を出すか, それが無理なら, 改めて質問するという選択もあるでしょう.

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

f(x)＝((sinx)/x(x≠0),1(x＝0)）については考えてそれでも解決しなければ改めて質問します。

-1≦a<1についても、しなくても良い場合分けをしてしまっており、複雑になっているだけでした。

ありがとうございました。

お礼日時：2017/10/20 10:41

No.2 回答者： rinkun 回答日時： 2017/10/20 08:56

定義に基づいてだったら定義から連続関数のボレル可測性を証明すれば良いのでは?

それでf(x)の連続性も定義に基づいて証明する。
この証明を具体例に落しこむとできますよ。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2017/10/20 10:42

No.1 ベストアンサー 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2017/10/20 00:39

複数のQ&Aサイトで同一の質問をするのは, 私は有害無益なことだと思います.

ですから, あまり真面目に回答したくないのですが...
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …

そんなに面倒でしょうか.
例えば a = 1/2 なら,
P = ∪_[n∈Z](6/{(12n+5)π}, 6/{(12n+1)π}) ∪ {0}
だと思いますが, 私の勘違いですかね.
勘違いでなければ, それ以外の a の場合も, 簡単なアレンジで P を求められます.

この回答へのお礼

知恵袋の質問は削除しました。申し訳ございません。

ご回答ありがとうございます。

a＝1/2であれば、sinもうまく消えるので表しやすいですが、一般的にはArcsinを用いることになりそうで、複雑になると思います。

そして、逆関数が求められない(？)関数、例えば、f(x)＝((sinx)/x(x≠0),1(x＝0)）のようなものでは、具体的に表せないと思うのですが、この場合は定義関数や、R上連続な関数がボレル可測関数であることを用いるしかないのでしょうか？

何度も申し訳ございません。よろしくお願いします。

お礼日時：2017/10/20 09:21