(a^2+b^2+c^2+d^2)/4≥{(a+b+c+d)/4}^2 の証明お願いします！

(a^2+b^2+c^2+d^2)/4≥{(a+b+c+d)/4}^2 の証明お願いします！

No.4 回答者： ring65537 回答日時： 2017/11/05 15:29

2(a^2+b^2) ≧ (a+b)^2 ... (*)

が次のように証明されます
(左辺) - (右辺) = (a-b)^2 ≧ 0

よって
2(a^2+b^2) ≧ (a+b)^2
2(c^2+d^2) ≧ (c+d)^2
辺々加えて
2(a^2+b^2+c^2+d^2) ≧ (a+b)^2 + (c+d)^2 ... (1)

(*)より
2{(a+b)^2 + (c+d)^2} ≧ (a+b+c+d)^2 ... (2)

(1),(2)より
4(a^2+b^2+c^2+d^2) ≧ (a+b+c+d)^2
(a^2+b^2+c^2+d^2)/4 ≧ {(a+b+c+d)/4}^2

No.3 回答者： Arima01 回答日時： 2017/11/02 16:30

4(a²+b²+c²+d²)-(a+b+c+d)²

=4(a²+b²+c²+d²)-(a²+b²+c²+d²+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd)
=3(a²+b²+c²+d²)-(2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd)
=(a²-2ab+b²)+(a²-2ac+c²)+(a²-2ad+d²)+(b²-2bc+c²)+(b²-2bd+d²)+(c²-2cd+d²)
=(a-b)²+(a-c)²+(a-d)²+(b-c)²+(b-d)²+(c-d)²≧0

∴4(a²+b²+c²+d²)-(a+b+c+d)²≧0
⇔(a²+b²+c²+d²)/4≧{(a+b+c+d)/4}²

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/11/01 12:39

(1)右辺を展開する。

(2)右辺から出てくるab,ac,ad,bc,bd,cdのついては以下のように計算する。
ab≦|ab|≦(a^2+b^2)/2
右二つは(相乗平均)≦(相加平均)の関係をa^2,b^2に対して適用した。

これで求める不等式が得られるはずです。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2017/11/01 12:05

[ (a + b + c + d)/4 ]^2 = (a + b + c + d)^2 /16

なので

　4(a^2+b^2+c^2+d^2) ≧ (a + b + c + d)^2

を証明すればよいわけですよね？

右辺 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
なので
　左辺 - 右辺
= 3(a^2+b^2+c^2+d^2) - (2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd)
= (a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 - 2ac + c^2) + (a^2 - 2ad + d^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (b^2 - 2bd + d^2) + (c^2 - 2cd + d^2)
= (a - b)^2 + (a - c)^2 + (a - d)^2 + (b - c)^2 + (b - d)^2 + (c - d)^2 ≧ 0

よって
　左辺 ≧ 右辺

等号は a=b=c=d のとき。