中学三年の問題です！この問題の解き方を、教えてください！ 正解は、3分の8cm です！

中学三年の問題です！この問題の解き方を、教えてください！

正解は、3分の8cm です！

No.3 ベストアンサー 回答者： sc348253 回答日時： 2017/11/22 21:22

私もANとBMが直交に気づいたが証明できないので止めましたが、

別解としての最終手段は座標の活用です。つまり、Bを原点として
A(0,2),N(1,0),C(2,0),M(2,1)とおく
直線ACは、A(0,2)を通り傾きー1だからy=ーx+2 …(1)
直線ANは、A(0,2)を通り傾きー2だからy=ー2x+2 …(2)
直線BMは、傾き1/2だからy=x/2 …(3)
点Eは、(1)と(3)の交点よりーx+2=x/2 ∴ x=4/3 y=2/3
点Fは、(2)と(3)の交点よりー2x+2=x/2 ∴ x=4/5 y=2/5
よって、三平方の定理より
√(4/3ー4/5)^2+(2/3ー2/5)^2=√(4^2+2^2)・(1/3ー1/5)^2=2√5・(1/3ー1/5) …(4)
ところで、BMは、10だから設定した値は、√(2^2+1^2)=√5より
EFは、(4)を10/√5倍すればいいので、20(1/3ー1/5)=8/3

尚、ANとBMの直交は、(2)と(3)の傾きの積が, (ー2)・(1/2)=ー1からわかる！

また、高校のベクトルなら→BA=→CD=→a=(0,1) →BC=→b=(1,0)とおくと
→BM=→BC+→CM=→b+(1/2)・→a =(1,1/2)
→AN=→AB+→BN=ー→a+(1/2)・→b=(1/2,ー1)
内積をとると、1・(1/2)+(1/2)・(ー1)=0となり、直交していることがわかる！

この回答へのお礼

解決です！ありがとうございました！

お礼日時：2017/11/22 22:59

No.5 回答者： jyuguritto 回答日時： 2017/11/22 22:23

正解は既知なので、参考までに図を添ました。

№３さんの直交の件は、AMとANの傾きの係数がかけ合わせて-1。
△ABNと△ABFは相似形ですのでつぎの式が成り立つ。
AB=aとすると次の式がなり立つ。
ａ²+ａ²/4＝100
ａ²(5/4)=100
ａ²＝400/5
ａ=4√5
AＮ:BN＝AB:BF
10:2√5＝4√5:BF
BF=4

△CME　∽ △ABE でその比は2：1なので
EM=10/3
BE=10(2/3)=20/3
EF=(20/3)-4=8/3
EF=8/3 cm

以上です。

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2017/11/22 23:01

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2017/11/22 21:45

更に、補助線として、ADの中点をH、ABの中点をJとおく

CHとBMの交点をK、JDとANの交点をLとおくと
△BCK相似△BNF及び△AJL相似△ABFで、△ABN合同△CDHから
BF:FK:KM=1:1:(1/2)から
BF:EF:EK:KM=6:4:2:3よりEF=10・(4/15)=8/3でも良いでしょう！

No.2 回答者： m-jiro 回答日時： 2017/11/22 20:26

まず正方形の一辺の長さを求める。

△BCMに三平方の定理を使う。
BM^2＝BC^2＋CM^2＝10[cm]^2　と　CM＝1/2･BC　を使って
BC＝4√5[cm]　　CM＝2√5 [cm]　

BEの長さを求める。
△ABE と △CME は相似。　CM＝1/2･AB　なので　BE＝2/3･BM＝20/3 [cm]

BFの長さを求める。
△BCM と △BFN は相似。(BMとANは直交している)
BF：BN＝BC：BM　数値を入れて、　BF：2√5＝4√5：10　これを解いて BF＝4[cm]

以上より、
FE＝BE－BF＝20/3 － 4 ＝ 8/3 [cm]

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2017/11/22 23:01

No.1 回答者： sc348253 回答日時： 2017/11/22 20:25

図において、ADのD側を延長した線とBMのM側を延長した線との交点をGとおく

△ABE相似△CMEから
AB:MC=BE:EM=2:1=10:5
△BNF相似△AFGから
AG:BN=2:0.5=4:1=24:6
以上から
BF:FE:EM:MG=6:4:5:15
よって、
EF=10・(4/15)=8/3

2つの相似から2:1と4:1を上手く合わせるのに、6・a=5・bからa=5,b=6で調整した！