この問題、答えが7/2πなんですが、計算の仕方を教えてください。(中3数学)

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A 回答 (3件)

細かい部分が読み取れないので、数値は計算しませんが


影の部分の面積ですよね

回転している角度が直角ならば、4つ合わせた1周分の面積は
Π(OC^2 - OA^2)になるので
OCとOAの長さが分かれば計算できて
Π(OC^2 - OA^2)*(1/4) になると思います
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△ABCが1辺が2の正三角形で、OABが同一直線上にあるのなら


ABの中点(Mとする)とC,Oで直角△ができて
OM=6
CM=√3
から、OCは三平方の定理で求められます。
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円の面積:πr²


外周円の面積:π(OC)²
内周円の面積:π(OA)²

∠AOA'が90°なので、斜線部分を4つ繋げると輪になる。
したがって、斜線部分の面積は
{π(OC)² -π(OA)²}・(90/360)=(1/4){π(OC)² -π(OA)²}
となります。

Aの座標は(3,4)なので、
(OA)²=3²+4²=25

ここでx軸とOAがなす角をθとおくと、
sinθ=4/5
cosθ=3/5

△ABCは正三角形なので、ABCの内角はすべてπ/3。
一辺が2なので、Aからみた相対的なBの座標は、(2cosθ, 2sinθ)=(6/5, 8/5)
同様に、Aからみた相対的なCの座標は、
(2cos(θ+π/3), 2sin(θ+π/3))
=( 2cosθ・cosπ/3 -2sinθ・sinπ/3, 2sinθ・cosπ/3 +2・cosθ・sinπ/3 )
=( 2(3/5)(1/2) -2(4/5)(√3 /2), 2(4/5)(1/2) +2(3/5)(√3 /2))
=( 3/5 -4√3/5, 4/5 +3√3/5 )
=( (3-4√3)/5, (4+3√3)/5 )

ゆえに、Cの座標は
(3+(3-4√3)/5, 4+(4+3√3)/5)=((18-4√3)/5, (24+3√3)/5)
となるので、
(OC)²={(18-4√3)/5}² +{(24+3√3)/5}²
={(18-4√3)² +(24+3√3)²}/25
={324 -144√3 +48 +576 +144√3 +27}/25
=975/25
=39

したがって、求める斜線部分の面積は
(1/4){π(OC)² -π(OA)²} =(1/4)π{(OC)²-(OA)²}
=(1/4)π{39-25}
=(1/4)π・14
=14/4・π
=7/2・π
となります。


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計算は煩雑ですが、途中ルートが消えてスッキリとした数値になります。
この問題は、斜線部分の面積の計算式がわかっていても、
OCの長さをどのように求めるかが難しいところです。

上のように計算すると少しやっかいなのですが、
実はOCの長さを簡単に求める方法があります。

斜線部分を-θ回転させて、△ABCのAをX軸上になるように決めます。
すると、Aの座標は(5,0)となり、
△ABCは、1辺が2の正三角形であることから、Cの座標は
(5+1,2sin60°)=(6,√3) となり、
OC=√(6²+3)=√39
だとわかるのです。
あとは斜線部分の面積の計算式に代入するだけで解答を得られます。
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