楕円x^2+｛(y-1)^2｝/2=1 上の点を媒介変数θを用いて表し、その点における接線の方程式を

楕円x^2+｛(y-1)^2｝/2=1
上の点を媒介変数θを用いて表し、その点における接線の方程式を求めよ
という問題なのですが、
一般的に楕円上の点(p.q)の接線の方程式は
px/a^2+qy/b^2=1で表せられると思うのですが、
そこで、まず、問題の楕円上の点を(cosθ,√2sinθ+1)と表せ、
x×cosθ+(y-1)/2×(√2sinθ+1)=1
と表せると思ったら、答えは
x×cosθ+(y-1)×√2sinθ/2=1といった形になっているのはなぜでしょうか？
この場合はどーやって表していくのでしょうか？

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2018/01/30 13:09

貴方の答えを出したやり方・(根拠)は？

次に、実際に、数値とかの具体的に代入をして確認しましたか？

右辺が1ですから、sin^2θ+cos^2θ=1から
x^2=cos^2 ,(yー1)^2=2sin^2θに対応するので、y=1±√2・sinθ ∴yー1=±√2sinθ
から、x0=cosθ ,y0=1+√2sinθとおき、


Y=yー1とすれば、x^2+Y^2 /2=1 …(1)上の点(x0,y0)における接線の式
x0・x+Y0・Y/2=1に
x0=cosθ ,Y0=y0ー1=√2sinθ を代入すれば、
cosθ・x+(√2sinθ)(yー1)/2=1 になります！ 訂正します！

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2018/01/30 13:07

貴方の答えを出したやり方・(根拠)は？

次に、実際に、数値とかの具体的に代入をして確認しましたか？

右辺が1ですから、sin^2θ+cos^2θ=1から
x^2=cos^2 ,(yー1)^2=2sin^2θに対応するので、y=1±√2・sinθ ∴yー1=±√2sinθ
から、x0=cosθ ,y0=1+√2sinθとおき、


Y=yー1とすれば、x^2+Y^2 /2=1 …(1)上の点(x0,y0)における接線の式
x0+Y0・Y/2=1に
x0=cosθ ,Y0=y0ー1=√2sinθ を代入すれば、
cosθ・(√2sinθ)(yー1)/2=1 になります！

No.1 回答者： diff3356 回答日時： 2018/01/30 12:53

きちんと計算していないからです。

以下、cosθ, sinθ をそれぞれ、c, s と略記します。
x=c, y=1+√2*s ですから、dy/dx=-√2*c/s.
よって点(c, 1+√2*s)における接線は、
Y - (1+√2*s)={-√2c/s)*{X - c} ⇔
c*X+(s/√2)*(Y-1)=1.
となります。