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数が大きい式の因数分解をする際、コツなどはありますか?

例えば X²-102X+485=0 なら、
(X-5)(X-97)
となるじゃないですか、
でも私の場合、そこにたどり着くまでがとても遅くて困っています。

テストの計算問題等でも解くスピードが遅く、入試までには克服したいのですが…
回答いただけるとありがたいです!

gooドクター

A 回答 (5件)

解の公式を使って、その式=0とした場合の解を求めてしまうのがいいでしょうね。



もちろん、√の中が大きくなりますが、もし「因数分解せよ」という問題なのであれば、
√の中の数字は必ず平方数(整数の2乗)になって、√がはずれるはずなので、見当を付けやすいです。

この問題の場合、√の中は、102²-4×1×485=8464になりますが、8464が平方数になる
はずだ、と考えれば、92²=8464をすぐに見つけられます。

なお、解の公式のちょっと簡単な形として、xの係数が2の倍数の場合(この問題もそうです)、
解の公式は以下のようになります。こういうのを覚えておくと、解答時間が短くなります。
(普通の解の公式の分母分子を2で割っただけですが)

ax²+2bx+c=0のとき、x= { -b±√(b²-ac) } / a
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この場合でしたら、タスキがけですが、慣れない人もいるようなので、


2項分解法ですれば、どうでしょうか?
485=5・97 ,5+97=102 より
x^2ー102x+485=x^2ー5xー97x+485=x(xー5)ー97(xー5)=(xー5)(xー97)
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私が学生時代にやっていたのは、解の当たりをつけることですね。



X²-102X+485=0
という式があったら、
X²-102X が -485 の近くになるXの大体の見当をつけてから計算していました。

つまり、
X=4 なら
4²-102×4=16-408=-392 (-485には足りない)
X=6 なら
6²-102×6=36-612=-576 (-485を超えている)
と暗算(正確に計算する必要はない)しておいて、
X²-102X+485=0 の解の一つが4から6の間にあると見当をつけます。

ですので、紙に書く時には、まずは5を代入するところからになるわけです。
5²-102×5=25-510=-485
そしてちょうど-485になったので、
X=5 は解の一つだと理解するわけですね。

今回の問題例では解の一つが見つかったので、そのあとは
(X-5)(X-a)=X²-102X+485 から、
5+a=102 より、
もう一つの解が 97 だとわかるわけです。

一方で、解が整数(または分数)で見つからない場合は、
ルートを含む可能性があるので、
No.2の方のように平方完成で解いていました。


できることならば、自分なりに効率の良い方法を編み出してみてください。
そういった工夫こそが数学の理解を深める上で重要なことだと思います。
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和と積のペアが見つけみくい時は定番通り平方完成します。

遠回りのようですが、時間のロスは極力抑えられます。

X²-102X+485
=(X-51)²-51²+485
=(X-51)²-2116
=(X-51)²-46²
=(X-51+46)(X-51-46)
=(X-5)(X-97)

2116 は素因数分解して

2116=4×529=2²×23²

のようにします。三桁くらいなら開平もすぐにできるでしょう。計算が得意なら四桁いきなり開平した方が早いかもしれません。

最近の中学生は開平を習わないのかな? 珠算の定番なので、上級者は小学生でも理解できます。覚えておいて損はないので、もし知らなければ是非マスターしておきましょう。
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足して102、掛けて485になる数を見つける。



掛けて485になる数の見つけ方。
素因数分解してみる。
485=5×97の1通りしか無い。
で、5+97=102。

上手い具合に足して102、掛けて485になる数が見付かった。
2通り、3通り、・・ある場合も同じ様にやって見る。

5+97=102だけど、足すと-102だから、-5、-97にすれば解決
X²-102X+485=(x-5)(x-97)

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例)X²-59X+490の場合

490=5×2×7²だから、
試すと、5×2、7²=49に着目すると足して59になる。
∴X²-59X+490=(x-10)(x-49)
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