四角形の4辺の長さと対角線のなす角がわかっている時、対角線の長さを求める方法を教えていただけますか。

四角形の4辺の長さと対角線のなす角がわかっている時、対角線の長さを求める方法を教えていただけますか。

質問者からの補足コメント

• このような図です

  
    補足日時：2018/02/06 21:56

No.4 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2018/02/07 00:47

四角形の 4 辺の長さと, 対角線のなす角が与えられても, 対角線の長さの積が一意に定まるとは限らない.

分かりやすい例として...
1 辺の長さ 1 の正方形と, 1 辺の長さ 1 で内角の 1 つが π/3 のひし形で考えてみるといい.
そもそも, 質問者が知りたいのは対角線の長さであって, 対角線の長さの積ではない.

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/02/06 23:54

図のように四角形ABCDの対角線の交点をE交わる角度をθ

また、各辺の長さをa~hとします。
Eを１つの頂点とする4つの三角形がありますが、それぞれで余弦定理をもちると
△AEDから左回りに

cosθ=(h^2+g^2-d^2)/2hg・・・①
cos(180-θ)=((h^2+e^2-a^2)/2he・・・②
cosθ=(e^2+f^2-b^2)/2ef・・・③
cos(180-θ)=(f^2+g^2-c^2)/2fg・・・④

①からｇcosθ=(h^2+g^2-d^2)/2h・・・⑤
②からecos(180-θ)=((h^2+e^2-a^2)/2h…⑥
⑤-⑥から
(g+e)cosθ=(g^2-e^2+a^2-d^2)/2h
2h(g+e)cos=(g^2-e^2+a^2-d^2)…⑦

③からecosθ=(e^2+f^2-b^2)/2f…⑧
④からgcos(180-θ)=(f^2+g^2-c^2)/2f…⑨
⑧－⑨から
(e+g)cos=(e^2-g^2-b^2+c^2)/2f
2f(e+g)cos=e^2-g^2-b^2+c^2・・・１０

⑦＋１０から
2(e+g)(f+h)cosθ=a^2-b^2+c^2-d^2
⇔2AC・BDcosθ=a^2-b^2+c^2-d^2

このような関係式が得られました。
つまり、四角形の4辺の長さと対角線のなす角がわかっている時、対角線の長さの積は求められそうです。
なお、計算ミスなどがあるかもしれません。ミスがあれば指摘してください。

No.2 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2018/02/06 22:07

そのような方法があるなら, 教えて差し上げたいのですが...

No.1 回答者： kuroki55 回答日時： 2018/02/06 21:33

「なす角」とはどこを指しますか。

補足で図を載せてください。