A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
(nー1)/{ n(n+1)}=2/(n+1)ー1/n のように
A/(n+1)とA/nに分けれるので、
(答え)のようにおいて、変形させると、
a n +A/n =b nとおけば、等比数列になるので、
なぜって、与えられた式では、このままでは、上手く求められないので、
等比数列として、求め易くするため 変形しています!
No.2
- 回答日時:
an+A/n=bnとおくと
画像の下の式は
bn+1=(1/2)bn ・・・(等比数列)になり、bnの一般項は求めやすいはず。
an+A/n=bnとしたから、bnの一般項は、an+A/nと「=」で結ぶことができ、 anが求められる という仕組みだと思います。
ちなみに、画像下の式は答ではなく、解答の途中式という事になると思います。
No.1
- 回答日時:
「答え」が、一般項になっていないような気がしますが。
「答え」に書かれている式は、単に「与えられた式を「b(n) = a(n) + A/n」の等比数列に置き換えてみましょう」というだけの話でしょう?
実際に、A=-2 として「答え」の式を変形してみれば
a(n+1) - 2/(n+1) = (1/2)a(n) - 1/n
移項して
a(n+1) = (1/2)a(n) - 1/n + 2/(n+1)
= (1/2)a(n) - (n + 1)/[ n(n + 1) ] + 2n/[ n(n + 1) ]
= (1/2)a(n) + [ 2n - (n + 1) ]/[ n(n + 1) ]
= (1/2)a(n) + (n - 1)/[ n(n + 1) ]
で、与えられた式になりますよね?
「答え」に書かれているように、「b(n) = a(n) + A/n」の形に変換した等比数列にするためには A=-2 とすればよく、
b(n) = a(n) - 2/n ①
とおけば、与えられた式は
b(n+1) = (1/2)b(n)
という「等比数列」に置き換えられるということです。「等比数列」で、初項が
b(1) = a(1) - 2/1 = 1 - 2 = -1
なら、一般項は
b(n) = -(1/2)^(n - 1)
と書けることが分かります。
これを①で a(n) に戻してやれば
-(1/2)^(n - 1) = a(n) - 2/n
従って
a(n) = 2/n - (1/2)^(n - 1)
「答え」に書かれてるものは、そういう「置き換え」をしてみましょう、ということで書かれている式だと思いますよ。
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