数学…数列の問題で、答えを見てもなんでこのような（～を引いたところ）変形をしてるのか分かりません…

数学…数列の問題で、答えを見てもなんでこのような（～を引いたところ）変形をしてるのか分かりません…

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2018/02/13 19:29

(nー1)/｛ n(n+1)｝=2/(n+1)ー1/n のように

A/(n+1)とA/nに分けれるので、
(答え)のようにおいて、変形させると、
a n +A/n =b nとおけば、等比数列になるので、

なぜって、与えられた式では、このままでは、上手く求められないので、
等比数列として、求め易くするため 変形しています！

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/02/13 16:08

an+A/n=bnとおくと

画像の下の式は
bn+1=(1/2)bn ・・・（等比数列）になり、bnの一般項は求めやすいはず。
an+A/n=bnとしたから、bnの一般項は、an+A/nと「＝」で結ぶことができ、　anが求められる　という仕組みだと思います。

ちなみに、画像下の式は答ではなく、解答の途中式という事になると思います。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/02/13 15:38

「答え」が、一般項になっていないような気がしますが。

「答え」に書かれている式は、単に「与えられた式を「b(n) = a(n) + A/n」の等比数列に置き換えてみましょう」というだけの話でしょう？

実際に、A=-2 として「答え」の式を変形してみれば
　a(n+1) - 2/(n+1) = (1/2)a(n) - 1/n
移項して
　a(n+1) = (1/2)a(n) - 1/n + 2/(n+1)
　　　　　= (1/2)a(n) - (n + 1)/[ n(n + 1) ] + 2n/[ n(n + 1) ]
　　　　　= (1/2)a(n) + [ 2n - (n + 1) ]/[ n(n + 1) ]
　　　　　= (1/2)a(n) + (n - 1)/[ n(n + 1) ]
で、与えられた式になりますよね？

「答え」に書かれているように、「b(n) = a(n) + A/n」の形に変換した等比数列にするためには A=-2 とすればよく、
　b(n) = a(n) - 2/n　　　①
とおけば、与えられた式は
　b(n+1) = (1/2)b(n)
という「等比数列」に置き換えられるということです。「等比数列」で、初項が
　b(1) = a(1) - 2/1 = 1 - 2 = -1
なら、一般項は
　b(n) = -(1/2)^(n - 1)
と書けることが分かります。

これを①で a(n) に戻してやれば
　-(1/2)^(n - 1) = a(n) - 2/n
従って
　a(n) = 2/n - (1/2)^(n - 1)

「答え」に書かれてるものは、そういう「置き換え」をしてみましょう、ということで書かれている式だと思いますよ。