数学の問題がわからず困っております．

問題は次のようになっています．

実数x, y, zが 3x + 2y + z = 1を満たすとき9x^2+4y^2+z^2の最小値はいくつか．なお 実数a, b, c,
p, q, rに対して次式が成り立つことを用いてよい。
(ap+bq+cr)^2<=(a^2+b^2+c^2)(p^2+q^2+r^2)

答えは1/3，になるらしいのですが導出する方法がわかりません．
どなたか数学が得意な方がいらっしゃいましたらお力をお貸しください！

No.3 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/03/01 23:13

f(x,y,z)=9x^2+4y^2+z^2

g(x,y,z)=3x+2y+z-1=0
h(x,y,z,q)=f(x)-qg(x) q・・・ラグランジュの未定定数
∂h/∂x=18x-3q=0 → x=(1/6)q
∂h/∂y=8y-2q=0 → y=(1/4)q
∂h/∂z=2z-q=0 → z=(1/2)q
g=0に代入すると
(1/2)q+(1/2)q+(1/2)q-1=0 →q=2/3
x=1/9, y=1/6, z=1/3
f=1/9+1/9+1/9=1/3

本当はfがここで極小かつ最小を示すべきですが
fの形からみて間違いないでしょう(^^;

この回答へのお礼

細かな解説ありがとうございました！おかげさまでいつも勉強させていただいています！

お礼日時：2018/03/02 23:09

No.2 回答者： springside 回答日時： 2018/03/01 22:59

No.1です。

ひょっとして、等号成立条件（つまり、実際に1/3になり得ること）を自分で見付けろ、という問題かな。
とすると、以下のことも記述しないと減点される。


(a²+b²+c²)(p²+q²+r²)-(ap+bq+cr)²
=a²p²+a²q²+a²r²+b²p²+b²q²+b²r²+c²p²+c²q²+c²r²-(a²p²+b²q²+c²r²+2abpq+2bcqr+2carp)
=a²q²+a²r²+b²p²+b²r²+c²p²+c²q²-2abpq-2bcqr-2carp
=(a²q²-2abpq+b²p²)+(b²r²-2bcqr+c²q²)+(a²r²-2carp+c²p²)
=(aq-bp)²+(br-cq)²+(ar-cp)²≧0
である。
ここで、等号は、aq=bp、かつ、br=cq、かつ、ar=cpのときに成り立つ。

本問で言えば、a=3x、b=2y、c=z、p=q=r=1なので、
3x=2y、かつ、2y=z、かつ、3x=zのときであるから、3x=2y=zのとき。

このとき、3x+2y+1=1なので、
　3x+3x+3x=1より、x=1/9
　2y+2y+2y=1より、y=1/6
　z+z+z=1より、z=1/3
のときに等号が成立する。

したがって、9x²+4y²+z²の最小値は、1/3である（x=1/9、y=1/6、z=1/3のとき）

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました！等号成立条件までわかりやすく解説してくださいまして本当にありがとうございました！
おかげさまでかなり勉強させていただきました！

お礼日時：2018/03/02 23:08

No.1 回答者： springside 回答日時： 2018/03/01 22:31

そのヒントを見たまんま使うだけなんだけど。

(ap+bq+cr)²≦(a²+b²+c²)(p²+q²+r²)において、

a=3x、b=2y、c=z、p=q=r=1を代入すると、

(3x+2y+z)²≦(9x²+4y²+z²)(1²+1²+1²)

ここで、3x+2y+z=1なので、

1≦(9x²+4y²+z²)×3

∴1/3≦9x²+4y²+z²

ただ、この問題、ヒントの式に等号成立条件が書いてないね。
最小値が1/3であることを言うためには、本来、等号成立条件を言わないと（つまり、
1/3になることが実現可能であることを言わないと）ダメなんだけど。