A,B,CがA+B+C=πを満たすとき、次の等式を示せ。 (sinA)^2+(sinB)^2+(si

A,B,CがA+B+C=πを満たすとき、次の等式を示せ。

(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2-2=2cosAcosBcosC

証明は解答を見れば納得できるのですが、どういう目的を持って式変形を考えていけば良いのか教えてください。
自力で解けた方には、解答をつくる上で頭の中で考えたことなど教えていただきたいです。

よろしくお願いします。

No.7 回答者： stomachman 回答日時： 2018/03/11 18:57

No.6の続き。

やっぱupしてみるす。

定理: A + B + C = (2m＋1)π (mは整数)　であるとき、問題の恒等式が成り立つことを証明したい。
[1] A, B, Cのどれかが2nπ (ただしnは整数）である場合
問題の式の対称性から、A,B,Cのどれでも同じ事だからC=2nπだとすると、
　　A + B = (2m - 2n ＋1)π (m,nは整数)
　　(左辺) = (sinA)^2 + (sinB)^2 - 2
　　(右辺) = 2cosAcosB
である。
　　B = (2m - 2n ＋1)π - A
　　sinB = sin((2m - 2n ＋1)π - A) = sin(π- A) = sinA
　　cosB = cos((2m - 2n ＋1)π - A) = cos(π- A) = -cosA
なので、
　　(左辺) = 2((sinA)^2 - 1) = -2 (cosA)^2
　　(右辺) = -2(cosA)^2
めでたし。
[2] A, B, Cのどれかが(2n+1)π (ただしnは整数）である場合
問題の式の対称性から、A,B,Cのどれでも同じ事だからC=(2n+1)πだとすると、
　　(左辺) = (sinA)^2 + (sinB)^2 - 2
　　(右辺) = -2cosAcosB
である。
　　B = (2m - 2n)π - A
より
　　sinB = sin((2m - 2n)π - A) = sin(-A) = -sinA
　　cosB = cos((2m - 2n)π - A) = cos(- A) = cosA
　　なので、
　　(左辺) = 2((sinA)^2 - 1) = -2 (cosA)^2
　　(右辺) = -2(cosA)^2
めでたし。
[3] A, B, Cのどれもがnπ (ただしnは整数）ではない場合
　0でない３つの３次元ベクトルa, b, c が a+b+c = 0を満たすとすると、これで三角形ができる。これらの内積を考えて、 b・c = -|b||c| cosA、c・a = -|c||a| cosB、a・b = -|a||b| cosC を満たすA,B,Cを選べば
　　A+B+C=(2m+1)π (mは整数) かつ A, B, Cはどれもnπ (ただしnは整数）ではない
を満たすのは明らか、ってことで宜しいでしょうかね。（もちろん、0＜A, B, C＜πになるように選べば、A, B, Cはこの三角形の内角になる。)めんどくさいので
　　α=(b・c)、β=(c・a)、γ=(a・b)
と書く事にする。さて、
　　αβγ = |b||c| cosA |c||a| cosB |a||b| cosC
　　　= ((|a||b||c|)^2) cosA cosB cosC
だから、問題の右辺は
　　((|a||b||c|)^2)(右辺) = - 2αβγ
である。また、
　　|a|α = |a||b||c| cosA
　　|b|β = |a||b||c| cosB
　　|c|γ = |a||b||c| cosC
なので、
　　(|a|^2)(α^2) = ((|a||b||c|)^2)(cosA)^2
　　(|b|^2)(β^2) = ((|a||b||c|)^2)(cosB)^2
　　(|c|^2)(γ^2) = ((|a||b||c|)^2)(cosC)^2
問題の左辺は
　　(左辺) = (sinA)^2 + (sinB)^2 + (sinC)^2 - 2
　　　= 1 - (cosA)^2 - (cosB)^2 - (cosC)^2
だから
　　((|a||b||c|)^2)(左辺) = ((|a||b||c|)^2) - (|a|^2)(α^2) - (|b|^2)(β^2) - (|c|^2)(γ^2)
である。さらに
　　a + b + c = 0
だから
　　(a + b + c)・a = |a|^2 + γ + β= 0
より
　　|a|^2 = -(γ+ β)
同様に
　　|b|^2 = -(α + γ)
　　|c|^2 = -(β + α)
なので、
　　((|a||b||c|)^2)(左辺) = -(γ+ β)(α + γ)(β + α) + (γ+ β)α^2 + (α + γ)β^2 + (β + α)γ^2
　　　= -2αβγ
めでたし。

というわけで、長いな。

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2018/03/11 00:49

No.2へのコメントについて。

> 最後の･･･が気になります。

A, B, Cはsin, cosの中にしか現れないんで、0でない３次元ベクトルa, b, cが a+b+c = 0 になってる、という話だと思ってa,b,cの外積の絶対値と内積を考えてやれば A+B+C = (2n+1)πという（問題の設定よりちょっと広い）条件下での証明になるよね、と思ってやってみたら、できるけどくそメンドクさくてエレガントにはほど遠かったのでupするのやめたです。

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/03/10 23:59

三角形にしようとすると「A, B, C が 0 と π の間」という条件が付くので厳密にはこの等式の証明にならないです＞#1 というのを, 実は書こうとして気づいた.

ちなみにその条件下で余弦定理と三角形の面積の公式からこの等式を示せること自体は確認してる.

No.4 回答者： シンイチロー 回答日時： 2018/03/10 15:46

社会に出て数十年！

sine、cos、タンジェント、
金型製作図面読み取る事しか使用しませんでした！
計算できる電卓もあります。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/03/10 13:57

証明は解答を見れば納得できるのですが、どういう目的を持って式変形を考えていけば良いのか教えてください。

＞＞＞試行錯誤して、変形しsinの２乗式からcosの１乗へと近づけていくだけのことです。
基本的にしらみつぶしに変形を試みて　ということになるのではないでしょうか。
ただし、そういう訓練を積むうちにこの変形は見込みなしとか、こちらの変形は有力というのが分かるようになってくるのではないでしょうか。また、この変形の発想は自分の中にはなかったと素直に画像のような変形を自分のなかに納めておけばその積み重ねで、この変形のしかたはどうなのかという見込みの有無、の判断の勘やひらめきが良くなると思われます。
時間が許せばしらみつぶしの訓練をして、出会った問題は貪欲に吸収しておくというのが良いかもです。

今話題の将棋の藤井新６段もプロになる前には、難しい詰将棋や局面を考えすぎて頭が割れそうになったことがあるそうです。（→しらみつぶしに試行錯誤のトレーニング）また、AIが指す将棋の手順をインプットしてそれを実戦に役立てているようです。（自分にないものを素直にインプットしておいて、必要な場面でひきだす。）
このようにして修業を積んだのがその強さの秘密のようです。

ちなみに画像の問題を私は右辺から変形を試みたくなりました。
2cosAcosBcosC
=2cosAcosB{-cos(π-c)} 　→飽きるくらい出てくる変形なので並みの発想
=2cosAcosB{-cos(a+b)} 　→１つ前の式を見れば、第１条件からCを消せるので、すぐにやりたくなる変形
=2(1/2){cos(A+B)+cos(A-B)}{-cos(a+b)} 　→積和の公式　見変形の部分を変形したくなり単純に積和
=cos(A+B){-cos(a+b)}+cos(A-B){-cos(a+b)}
=-cos²(A+B)+cos(A-B){-cos(a+b)}
=-cos²(π-c)+cos(A-B){-cos(a+b)} →第一条件を使えて目的地である２乗式に近づくので即使いました。
=-cos²C+cos(A-B){-cos(a+b)}
=sin²C-1ｰcos(A-B)cos(a+b) 　→簡単な変形cos²C+sin²C=1で念願のsin²Cにしました
=sin²C-1-(1/2){cos2A+cos2B) 　→和積の公式ほぼそのままなので自然と利用したくなります。
=sin²C-1-(1/2){1-２sin²A+1-2sin²B)　→これも倍角公式がすぐ思い浮かびます。しかも目的の２乗式になるのでピッタリ
=右辺
というようになりました。
そこで回答欄にこれの逆順だけを書くと、これを見たひとは「見れば確かにそうだがどうしてこういう発想ができるのか」と思う人も出てくるかもしれません。
また、この右辺から左辺の変形は何となく画像の変形の逆順と似ていると思いませんか?
もしかしたら、解答作成者も右辺から左辺へと変形していってそれを逆順に書いて模範解答としたのかも。

さて、どうしてこのような変形を思いついたかもう少し補足すれば、和積　積和　など三角関数　の変形が私の頭にある。
これまでに、他の問題で試行錯誤のトレーニングをしてきた成果もあるかも。
これまでに出会った問題が頭に入っていて、それが引き出せているのかも。（インプットされたことをうまくアウトプットできた？）
逆算して問題を考えるというのは良く使うテクニックだということはいつも意識している。
ということです。
どうしたら、発想ができるようになるか？→生まれつき才能があるならば別だけれどもそうでない我々は努力あるのみということなのかもしれません。
参考になれば幸いです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
今の自分にできる試行錯誤の積み重ねを大事にしていきます。努力と言っていただき、頑張ろうと思えました。

お礼日時：2018/03/10 16:48

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2018/03/10 11:55

式の対称性を使ってかっこ良くやりたい気もするが、おれって三角関数イマイチじゃん。

やっぱり、まずは泥臭くやってみるか。A+B+C=πだってんだから、Cに消えてもらおう。sinC= sin(A+B)、cosC = -cos(A+B)だよな。ん。これでCはきれいさっぱり消えた。で、加法定理だ。sin(A+B) = sinA cosB + cosA sinB　とバラせば(sinC)^2 = (sin(A+B))^2 = (sinA cosB + cosA sinB)^2 = えーと=(sinA cosB)^2 + (cosA sinB)^2 + 2sinA sinB cosA cosB だから(sinA)^2 + (sinB)^2 + (sinC)^2 = (sinA cosB)^2 + (cosA sinB)^2 + 2sinA sinB cosA cosB + (sinA)^2 + (sinB)^2 だよな。うはー。ややこしくなってきたから、今度は反対側から行こう。cos(A+B) = cosA cosB - sinA sinB だから、2 cosA cosB cosC = -2 (cosA cosB)^2 + 2 sinA sinB cosA cosB だ。ほらほら 2 sinA sinB cosA cosB が同じだよ。てことは、 (sinA cosB)^2 + (cosA sinB)^2 + (sinA)^2 + (sinB)^2 - 2 = -2 (cosA cosB)^2 を証明しろってことだ。おお、こりゃsinにご退場願う絶好の機会ではないか。((1-(cosA)^2)((cosB)^2) + ((cosA)^2)((1-(cosB)^2) + (1-(cosA)^2) + (1-(cosB)^2) - 2 = -2 (cosA cosB)^2 と。で、左辺を展開すりゃいいのよ。えーと(cosB)^2 + (cosA)^2+ 1-(cosA)^2 + 1-(cosB)^2 - 2 = 0 めでたしめでたし。と。さてと、これを三角形の幾何の話だと解釈すると式の対称性の意味が見えてきそうな気もするが？えーと、…（既に問題は解けているのに延々と続く）

この回答へのお礼

なんでも取り掛かってみることが大事ですよね。そこで行き詰まったら逆算してみる。
回答ありがとうございました。
最後の･･･が気になります。

お礼日時：2018/03/10 16:30

No.1 回答者： スチールウール 回答日時： 2018/03/10 03:56

幾つか考えるのは、

1.=πなので三角形。辺をabc外接円の半径をrと置いて余弦定理や正弦定理で頑張る
2.右辺が積だから和積でどうにかなるんだろうけど、倍角の公式使ってどうにかなるかな？
3.sin(π-θ)=cosθ、cos(π-θ)=-cosθなんだから右辺にsinC^2を移項して、右辺からCを消して計算していけば左辺の残りになる事示す

この辺りが思いつくかと
1.なら右辺の余弦定理の積が面倒そうなのでパス

2.なら2倍角の足し算にはなったので、あとは和積でA+B=π-Cなので、二回ぐらいやったらどうにかなるかなと考えつつ頑張る

3.なら力技で行けそうなので私ならこれで行きます
たぶん加法定理と1-cos^2=sin^2だけで解けそうなので

この回答へのお礼

3つも考え方を示していただきありがとうございました。
ベストな解法を判断する能力を鍛えようと思います。

お礼日時：2018/03/10 16:25