線分の回転体わかりません教えてください。図をかきずらく、どのように回してるかもイメージできないです。

線分の回転体わかりません教えてください。図をかきずらく、どのように回してるかもイメージできないです。教えてくださるとありがたいです。

No.2 回答者： tekcycle 回答日時： 2018/03/19 21:25

まず、回転体以前に、PとQをちゃんと認識できているでしょうか？

私が教わった予備校の先生は、試験会場の隅を原点に、高さ、左右、手前奥、とｘｙｚ軸を見立てて考えて見ろ、と仰っていました。
私は、消しゴムはどうだろう、とふと思いました。
どこかの角を原点にすると、図形が見えてこないか、と。

その問題ですが、基本的に、簡単に図形は見えません。見えなくて正解、です。
慎重にやらなければ見えてこない。
それをどう見えるようにするのか、が鍵です。
見えません見えませんじゃない、見えないことをどう見えるようにするのか、どう簡単にしていくのか、です。

直線ＰＱですが、ｚがある値の時、ｘとｙの値は一つに決まりますよね。直線、ってそういうことですよね。
二次元の直線の式、ｙ＝ａｘ＋ｂ、ｙがある値の時、ｘの値は一つしかない。ですよね。
じゃぁｚがｔ(－１＜ｔ＜１)のとき、ｘとｙはいくつなの？ｔで表せない？
ｚがｔのとき、ｚ＝ｔという平面、で直線ＰＱを切断するわけです。輪切り。
直線ＰＱは、点になりますよね。
ｚ＝ｔで切った平面、ｘｙ座標、ｚ軸(ｘｙ座標の原点)と、直線ＰＱの極一部の点、これを図に描いて下さい。
問題はｚ軸を中心とした回転体、ですから、ｚ＝ｔのとき、ｚ＝ｔの平面で輪切りにしたとき、その点が、ｚ軸を中心にくるくる回るわけです。
その描いた図では、ある点が、原点を中心にくるくる回る。
では、「その半径は？」「点と直線の距離」というほど面倒では無い、ｘ座標の二乗とｙ座標の二乗を加えて平方根を取る、三平方の定理、ですよね。
「半径が出れば円の面積が出せますよね。」
「円の面積をｔで表すことができれば、積分すれば体積が出ますよね。」
という見通しになるのです。

つまり、見えない見えないって、そりゃそうで、こうして見たって、点でしか見えないんです。
ｚ＝ｔのときのｘｙ座標が見え、ｔの変化に伴ってそれがどうなるかを追えれば、追うなら、どうなりそうか見えてきますが。
だからこの問題、図形は中々見えてこないんです。
見えない見えないで投げ出したら解けない問題です。
最低限のイメージは必要ですが、見えない物見え難い物は見えてこないかもしれない、でも解ける。
解ける理由は、回転体の体積だから、ｚ＝ｔで輪切りにしたときに、ｚ軸から距離いくつの所に何があるか、という問題に集約されるから、です。

No.1 回答者： springside 回答日時： 2018/03/18 21:25

基本的には、「体積=断面積の積分」という形になるので、とにかく断面積を求めるのが先決。

で、断面積を求めるには、「断面がどうなるか」を把握する必要があるが、そのとき、「どのようにして回しているか」をイメージする必要はない。

回転体の場合は、その回転の中心と一番外側の距離（つまり、回転の半径r）がわかれば、断面積はπr²になるというだけ。
（そのとき、rは、ある面でその回転体を切ったときの断面上の円の半径になるので、tとか何かの関数であるケースが多い）
繰り返すが、回転のイメージは不要で、「中心と半径」が判ればそれでいい。

難関校だと、回転体ではない場合が結構あり、それはそれできちんと断面を把握する必要があるが、回転体の場合より難しいケースが多い。
これはとにかく問題の数をこなすしかない。