点zが原点oを中心とする半径1の円上を動くとき、ω=i(z-2)で表される図形はどのような図形を描く

点zが原点oを中心とする半径1の円上を動くとき、ω=i(z-2)で表される図形はどのような図形を描くか、と言う問題で、なぜzについてとくんですか？

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/08 20:44

z について解かなくても、幾何学で考えればよいじゃないですか？

i を掛ける操作は、複素数平面上で原点中心反時計回り 90° の回転を表します。
このため、w-2= i(z-2) で表される w の軌跡は、
z の軌跡を点 2+0i を中心に反時計回り 90° の回転したものです。
ω = w+2 であれば、ω の軌跡は w の軌跡を実軸方向に +2 移動したものです。

問題の ω の軌跡は、z が描く原点 0 を中心とする半径 1 の円周を
2+0i を中心に反時計回り 90° 回転した後、
実軸方向に +2 並行移動したものになります。

これらの移動で円の半径は変わらないので、円の中心の移動に着目しましょう。
中心は (0,0) → (2,-2) → (4,-2) と動きます。
ω が描く図形は、4-2i を中心とし半径 1 の円周です。

問題が「どのような図形を描くか」であれば、
| ω - 4 + 2i | = 1 という式もおそらく不要でしょう。
図形の言葉で答えたらいいです。

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/05/08 18:48

点zが原点oを中心とする半径1の円上を動くので、ｚは、|z|=1 を満たしています。

ω=i(z-2)という形の式のままでは、|z|=1 がうまく使えませんが、ω=i(z-2)をｚについて解けば、そのｚの式を|z|=1 の式に代入できます。
代入すると、ωの関係式ができるので、ωがどのような図形を描くかが分かります。