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角CAFの大きさを教えてください。
1辺が3の立方体です。
私は角CAB=45度、角BAF=45度、よって角CAFは90度だと考えたのですが、答えは60度でした。どこが間違っているのでしょうか?

「角CAFの大きさを教えてください。 1辺」の質問画像

A 回答 (7件)

問題の角度は、直角2等辺三角形2つを辺ABでくっつけた形ですね。


もう少し言うと、下の画像のように直角2等辺三角形AFCを折り目ABで90度にあり曲げた形(画像真ん中)です。
さて、この直角2等辺三角形AFCを折り目ABで少しずつ折りたたんでいくことを考えましょう。
折る前(画像左)では各CAFは90度です(「私は角CAB=45度、角BAF=45度、よって角CAFは90度だと考えたのですが、」とあるとおり)
これを折っていくとやがて画像真ん中の形になり、更に折っていくとFとCが重なります(画像右はFとCが重なる直前)。
このとき画像左から右へと移り変わっていくに従い、角CAFの大きさは小さくなっていることが分かります。
もし「ぴん」と来なくても画像右を見れば一目瞭然!
ACとAFがもうすぐ重なるところなので
ACとAFのなす角CAFは0度に近くなっています。そしてCとFが重なった時、角CAFは0度になります。
⇒始め90°であったCAFが最後には0度になることから、折りたたんでいくことによって
各CAFがだんだん小さくなると言えるわけです!
(イメージしにくい場合は定規2つを画像のように並べてその角度を変え、実物を観察してみるのも良さそうです。)
したがって、問題は下の画像の真ん中の状態での角度を聞かれているので、90度ではない(90℃より小さい)のです。

正しくは立方体の面は全て同じサイズの正方形で
辺の長さがAF=FC=CA(すべて同じ大きさの正方形の対角線だから)であることより、△AFCを考えると、これは正三角形となるので角CAFは60°となります!^^
「角CAFの大きさを教えてください。 1辺」の回答画像6
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この回答へのお礼

なるほど!理解しました!!詳しくありがとうございます!

お礼日時:2018/08/09 14:42

違った面で考えていますね。


ABCD,ABFE面ではなくACF面で考えます。
ACFでカットした面では、正三角形になります。
図を添えました、参考になれば。
「角CAFの大きさを教えてください。 1辺」の回答画像7
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この回答へのお礼

ありがとうございます!!
画像とてもわかりやすいです!

お礼日時:2018/08/09 14:43

立方体ですから、各面は正方形なので、「角CAB=45度、角BAF=45度」までは正解です。


ですが、角CAFが(その和の)90度になるのは(展開図のように)四角形ABCDと四角形ABFEが同一平面になるときだけです。
この問題では、四角形ABCDと四角形ABFEは同一平面にはなく、90°(角CBF)になっていますね。実際に紙に書いて折ってみればわかると思いますが、対角線ACと対角線AFの角度は四角形の間の角度によって変化します。
つまり、角CAFを決めるためには、線分CFの長さが重要な要素になるのです。
立方体の場合すべて正方形ですので、「AC=AF=CF」が成り立つため60℃であるとわかるのです。
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辺AC,AF,CFの長さは3√2で同じです。

3辺が同じの三角形を正三角形と言います。正三角形の内角は全て60°と決まっています。
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この回答へのお礼

ありがとうございました!

お礼日時:2018/08/09 14:44

AC,CF,FAの3本の線を引いてそれをノコギリで切ったと考えましょう。


この三角錐を裏側から見た時の三角形の角が角CAFです。
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三角形 CAF って、辺の長さみんな同じ。

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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2018/08/09 14:43

例えば ∠FAF を考えましょうか.



これを
∠FAB=45°, ∠BAF=45°, よって ∠FAF は 90°
って言われたらなにか変な気はしませんか?
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この回答へのお礼

ありがとうございました!

お礼日時:2018/08/09 14:43

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