数A ユークリッド互除法、一次不定方程式 この問題解いたのですが、何故違うのか教えてください。

数A ユークリッド互除法、一次不定方程式

この問題解いたのですが、何故違うのか教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： lawson 回答日時： 2018/04/02 20:08

kを整数として。

x=7k+α
y=3k+β

として、
f(k)=3xをkの1次式に変えた式
g(k)=7yをkの1次式に変えた式
を考えると、
ただし、
f(k), g(k)は、kが整数だから、離散的なもの。

f(k)=3(7k+α)=21k+3α
g(k)=7(3k+β)=21k+7β

3x-7y=1より、
f(k)-g(k)=1
がなりたつような
つまり、 
f(k)-g(k)=3α-7β=1
がなりたつような
α、βの取り方をした。

x=7k+α
y=3k+β
一般解の表し方なら、
全て正解だと。

結局は、
このα、βは、
特殊解ならなんでもOK
で、無限にあるです。

離散的な、直線(点線のような)
ものについて。

横軸をk、
縦軸をf(k)、g(k)の値としたときの
右上がりの直線(点線のような)が
が、f(k)、g(k)について、
二本あり、
ともに、21k+～なので、
傾き21で二本は、平行なのです。
どんなkをとっても、
f(k)-g(k)=1
となるように、
α、βを、つまり、k=0のときの、
切片を、
ともに、同時に、上限に動かすことができる。

つまり、α、βの値を同時に
増減させることができる。

ただし、二本の直線が、
f(k)-g(k)=1
の関係を保ったまま、
α、βがともに整数であること。
どんなkに対して、
f(k)、g(k)が整数であること。
保ったまま、
α、βを同時に、
増減させる必要があり。

そんな、
α、βの組は、とびとびな
離散的な整数の組として
無限にあって。

この整数の組が特殊解に
できる。(一般解のうちのひとつを代表して)

というような感じだと思います。 

そのなかで、α、βの取り方が、模範解答と、
質問者さんでは、ことなっていたので。

x=7k+α
y=3k+β
のα、βのところに、
違いがあっただけで。
どちらも正解だと思います。

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2018/04/02 20:50

Ｎｏ１　です。

先ほどは時間が無くて、中途半端な文章になってしまいました。
お詫びします。

不定方程式の解は無限にありますから、
考え方(出発点）によって、違う表現になります。
でも、中身は同じになる筈です。

詳しくは、他の方の解答にもありますので省略します。
但し、問題文に示されていない k を勝手に使うのですから、
k の定義を書く必要がありますので、注意して下さい。
（この場合は、「 k:任意の整数」ですね。）

尚、「ユークリッド互除法」は不定方程式を解くツールではありません。
「少なくとも一つの解」を見つける為の手助けをする方法の一つです。

No.2 回答者： lawson 回答日時： 2018/04/02 19:35

質問者さんの結果でも、

間違いではないですよ。

模範解答の
x=7k+5
y=3k+2
の
kをk-1に置き換えると。

x=7(k-1)+5=7k-2
y=3(k-1)+2=3k-1

x=7k-2
y=3k-1
となって、質問者さんの
結果となります。

この違いは、
模範解答は、最初の
特殊解を、
5, 2
としたのにたいして、
質問者さんは、
-2, -1
としたからです。

だから、
質問者さんがいうところの
kは、
k=0のとき、
模範解答でいうところの
k=-1なのです。


k=0となるところが。
最初の特殊解のところ
なんです。

表し方は、特殊解の数だけ、
たぶん、無限にあるのでは。
と、思うです。

問題は整数解を求めよ
ですよね。
これが、自然数解を求めよ
なら話は、また、ちがってくるかもですが。

結論として、質問者さんの
結果でも正解だと思います。

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2018/04/02 19:13

どこに互除法が使ってあるのか、分りませんが、計算がおかしいですよ。

3xー7y=1 を満足する自然数の一つは、x=5, y=2 なんですが。

この程度（x,y の係数の事）ならば、互除法では無く小学校で習った九九で充分ですよ。