サイコロの目の出方の回数を説明する方法

サイコロをN回振るとします。そのうち6の目の出る数を記録します。それを何度も繰り返したときに6が出る回数の平均値はN/6になっていくということは直感として了解されます。このことを別の方法で示すことを考えています。
例えば、N回振って0回出る確率は、(5/6)^Nです。
1回出る確率は(1/6)×(5/6)^(N-1)× N!/(1!(N-1)!)
m回出る確率は(1/6)^m×(5/6)^(N-m)×N!/(m! (N-m)!)
ということで確率分布は分かります。ということは期待値としてそれぞれの確率分布×出た目の回数mを０～N個まで足せば６が出る目の期待値になると思います。
∑（mの確率）×m ということです（m=0～N）。
式として書くことは簡単ですが、その結果N/6に至るでしょうか。できそうできないなあと思うのですが。どうでしょうか。
よろしくお願いします。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/04/17 16:15

あ, それは書き忘れてた.

m=0 だと （mの確率）×m=0 だから,
∑（mの確率）×m
は m=0 から計算しても m=1 から計算しても答えは同じ. なのでこの和を m=1 から計算すればいい.

この回答へのお礼

はい、有難うございました。

お礼日時：2018/04/19 17:58

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/04/16 14:44

まず微分してもいいなら話は簡単で, p と N を定数とするとき関数

f(x) = [px + (1-p)]^N
に対して f'(1) を計算すればいい.

微分しないなら
m × (1/6)^m×(5/6)^(N-m)×N!/(m! (N-m)!) = (N/6) × {(1/6)^(m-1) (5/6)^(N-m) (N-1)!/[(m-1)! (N-m)!]}
に気づけばいい.

どちらにしても中心は二項定理.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。この方向で９割行けるのですが、ちょこっとだけ躓きました。（ｍ－１）！のようなところがあってm=0つまり、１つも６が出ないすなわち、m=0です。その場合、（－１）！が出てきます。これは回避しないといけないのだろうと思いますが。和の端っこの方です。数学なので形式的に進めていけばいいだけだと思いますが、これは回避していくのですね。

お礼日時：2018/04/17 12:18

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/04/15 23:51

微分していい?

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。微分、いいです。たぶん等比数列の和の式を確立Pに関して微分する、という方向かなとは思いますが。
確率Pの現象が期待値として何回に1回発生するかという問題で(1/P)回になるとか言うところと似ているのかなと思いますが。
微分してもいい、というのは私としてはいいのですが、そういう連続量的な取り扱いをやっていいのかなというためらいはありますが。どう見ても対象が離散的なので。

お礼日時：2018/04/16 12:36