点Aに対するP4とP5によるモーメントはなぜ画像のような答えになるのですか？ ちなみに力の大きさは1

点Aに対するP4とP5によるモーメントはなぜ画像のような答えになるのですか？
ちなみに力の大きさは1マス(1m)で5kNで、時計回りが正です。
解答解説お願いします。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/04/21 15:22

これらの力が点Ａにどのように働くのですか？

この「紙面」がＡの周りに回転するということですか？

だったら、力のモーメントは
「点Ａからの腕の長さ＝点Ａと力のベクトルが直交する作用点までの距離」×「力の大きさ」
で決まる大きさで、方向は「時計回り」か「反時計回り」のどちらかです。

P4 は、「腕の長さ」は、Aから右斜め下方向（P4 ベクトルと直交）に、P4 の延長線までの距離です。正方形の対角線の 1/2 の長さで、１マス 1 m なら √2 /2 m です。

「力の大きさ」は、対角線の 3.5 倍ですから (7/2)*√2 *5 kN です。

従って、P4 の点Ａの周りのモーメントは
・大きさ: √2 /2 (m) * (7/2)*√2 *5 (kN) = 35/2 (kN･m)
・方向：反時計回り
・時計回りを「正」とすれば -35/2 = -17.5 kN･m

P5 は、「腕の長さ」は、Aから右斜め上方向（P5 ベクトルと直交）に、P5 の延長線までの距離です。正方形の対角線の 4.5 倍の長さで、１マス 1 m なら 9√2 /2 m です。

「力の大きさ」は、対角線の 3.5 倍ですから (7/2)*√2 *5 kN です。

従って、P4 の点Ａの周りのモーメントは
・大きさ: 9√2 /2 (m) * (7/2)*√2 *5 (kN) = 315/2 (kN･m)
・方向：反時計回り
・時計回りを「正」とすれば -315/2 = -157.5 kN･m

質問者さんの計算では、P4, P5 の力の大きさそのものを「5 kN」として計算していて、「１マス 5 kN」になっていません。

No.2 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/04/21 21:14

力のモーメントは、ベクトルを使った公式①で、機械的に計算できるので試してください。

力Pｎ↑の矢頭の座標をP(px, py)、矢の尾の座標をQ(qx,qy)、モーメントの中心をA(ax,ay)とします。するとモーメントMは①です。
M=pyqx－pxqy＿＿①
これを使ってP1からP5について計算すると、次の表になる。反時計回りがプラスです。
＿＿_px＿py＿qx＿qy＿M
P1＿_8＿_5＿_3＿_5＿－15=75kNｍ
P2＿11＿_0＿16＿_0＿＿0_=0kNｍ
P3＿_2＿_9＿_2＿_4＿_10_=50kNｍ
P4＿11＿10＿7.5＿6.5＿3.5=17.5kNｍ
P5＿5.5_3.5＿_9＿_0＿31.5=157.5kNｍ
あなたの画像の計算メモは、なぜか力の大きさが違っています。
M4=－5×0.5√2=－2.5√2となっていますが、
力は3.5√2だからM4=－3.5√2×0.5√2=－3.5=17.5kNｍが正解
M5=－5×4.5√2=－22.5√2となっていますが、
力は3.5√2だからM4=－3.5√2×4.5√2=－31.5=157.5kNｍが正解です。
①式は、腕の長さrと力Fのベクトル積ｒ×Fです。ベクトル積を使うと、
rとFが直交しなくてもよいので、いきなり式①で計算できます。
モーメントの中心点A(ax,ay)が(0,0)でない時は、rをr－Aに置き換える。
また次式の中のeは任意定数で、e=1の時は①式と同様にr=P点、
e=0の時はr=Q点である。つまり、ベクトル積を使うときは、
腕の長さrの座標としてP点でもQ点でも、
その他、力の矢印の直線上のどの点でも、rの座標として使えます。
M=ｒ×Fで、ｒ= eP(px, py)+(1－e)Q(qx,qy)－A(ax,ay)、
F= P(px, py)－Q(qx,qy)_②
です。なおrとFが直交するときの腕の長さをr0とすると
r0=|M|/|F|＿③
となる。Mの方がr0より先に簡単に計算できるから、こんな式が使えます。
なお、モーメントは、工学の世界では、左回りをプラスとするのが標準です。

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2018/04/22 13:39

力のモーメントは力（N）×腕の長さ（ｍ）です。

M4は力＝P4で、腕の長さ＝√２/2（時計回りで符号はプラス）
M4＝P4×√２/2=3.5√２×５×１０³×√２/2＝１７．５×１０³［N・m］（力のモーメントの単位はN・ｍです。N・ｍは仕事の単位と同じですが仕事をしていないのでJに書き換えられません）
M5は力＝P５/√２で、腕の長さ＝９（反時計回りで符号はマイナス）
M5＝－P5÷√２×９＝ー3.5×５×１０³×９＝ー１５７．５×１０³［N・m］
M4＋M5＝－１４０×１０³［N・m］